Функции. Область определения

Комплексные числа

Комплексным числом называют выражение x+iy, где R, i² =–1, - мнимая единица.

Обозначим z= x+iy, х называют действительной (Re), у – мнимой (Im) частями комплексного числа. Тогда х=Rez, y=Imz. Такая форма называется алгебраической формой записи комплексного числа. Комплексное число z=iy называется чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначают С=, R C.

Пример 6.1: Найдите решение уравнения

+2 x +2=0

Решение. D=4–4 2=–4

= = =-1±

Числа z = x+iy и = x–iy называются комплексно-сопряженными.

Например: если z=5–2i, то =5+2i.

Комплексное число x+iy определяется парой вещественных чисел (х,у) и поэтому изображается точкой М(х;у) плоскости или ее радиус вектором (рис.7). Длина этого вектора называется модулем комплексного числа, а его угол φ с осью Ох называется аргументом комплексного числа. Т.к. x=rcosφ, y=rsinφ, то получаем тригонометрическую форму комплексного числа:

z=r(cosφ+i sinφ).

Введем обозначение называемое формулой Эйлера:

е^iφ=cosφ+i sinφ.

Тогда получим показательную форму комплексного числа:

z=re^iφ .

Действия над комплексными числами

в алгебраической форме

Пусть z₁ = x₁+iy₁, z₂ = x₂+iy₂.

Сложение: z₁ + z₂ = x₁+x₂+ i(y₁+y₂).

Вычитание: z₁ - z₂ = x₁-x₂+ i(y₁-y₂).

Умножение: z₁ ·z₂ =(x₁+iy₁)·(x₂+iy₂)=x₁ x₂-y₁ y₂+i(x₁ y₂+ x₂y₁) (при умножении комплексных чисел скобки раскрываются по правилу умножения многочленов).

Деление:.

Пример 6.2: z₁ =2 +i, z₂ =-3 +2i. Найти z₁ + z₂ , z₁ – z₂ , z₁ ·z₂ ,.

Решение. z₁ + z₂ = 2-3+i(1+2)=-1+3i; z₁ – z₂ = 2+3+i(1-2)=5-i;

z₁ ·z₂ =( 2 +i)( –3 +2i)=-6-2+i(4-3)=-8+i;

=–3– 2i;

=

.

Действия над комплексными числами

в тригонометрической форме

Пусть z₁ = r₁(cosφ₁+i sinφ₁), z₂ = r₂(cosφ₂+i sinφ₂).

Умножение комплексных чисел:

z₁ ·z₂ = r₁(cosφ₁+i sinφ₁) r₂(cosφ₂+i sinφ₂)= r₁ r₂ (cos(φ₁+ φ₂)+i sin(φ₁+ φ₂)).

Деление комплексных чисел:

= (cos(φ₁ - φ₂ )+i sin(φ₁ - φ₂)).

Возведение в целую положительную степень комплексного числа:

zⁿ=(r(cosφ+i sinφ))ⁿ= rⁿ(cosnφ+i sinnφ).

Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа (Формула Муавра):

,.

Действия над комплексными числами

в показательной форме

Пусть,.

Умножение комплексных чисел:

z₁ ·z₂ = = r₁ r₂.

Деление комплексных чисел:

=.

Возведение в целую положительную степень комплексного числа:

zⁿ=(re^iφ)ⁿ= rⁿ e^inφ .

Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа (Формула Муавра):

,.

Таким образом, имеет n различных значений, которые располагаются на комплексной плоскости на окружности радиуса с центром в начале координат и делит ее на n равных частей.

Пример 6.3: Пусть z=-1+ i. Найти z⁵.

Решение. Запишем z в тригонометрической форме.

,

,.

Тогда z= 2.

Откуда, z⁵= 2⁵ = 32 =

=32 =.

Пример 6.4: Найти все значения (действительные и мнимые) w=.

Решение. Запишем z=1-i в показательной форме.

,

,.

Следовательно, z=. Воспользуемся формулой извлечение корня n-ой степени из комплексного числа:

=,.

k=0, w₀ = =;

k=1, w₁= =;

k=2, w₂= =.

Способы задания

Функцией y = f(x), определенной на множестве Х и принимающей значения на множестве Y, называется такое соответствие между этими множествами, при котором для каждого существует единственный элемент:

y = f(x),,.

Множество Х=D(f) – область определения функции; Y=E(f) – область значений функции; х – независимая переменная (аргумент); у – зависимая переменная (функция).

Если каждому значению соответствует несколько или бесконечно много значений, то считают, что задана многозначная функция.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, графический и табличный.

1. При аналитическом способе функция задается одной или несколькими формулами, действующими на не пересекающихся частях области определения.

Примеры: 1.1 у=х ², х R

1.2 y=

1.3 y=, x ≥0

2. При графическом способе функция задается кривой (графиком) в плоскости XOY, причем любая прямая, параллельная оси OY, пересекает кривую не более чем в одной точке (рис. 10).

y=f(x)

Рис.10

3. При табличном способе функция задается в виде таблицы значений аргумента и соответствующих значений функции.

x
y

Функция х = (у) называется обратной к функции y = f(x), устанавливающей взаимно-однозначное соответствие между Х=D(f) и Y=E(f), если выражает то же соответствие, причем Y= D(), а Х= E().

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

x ₁ < x ₂ f (x ₁) < f (x ₂)

Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

x ₁ < x ₂ f (x ₁) > f (x ₂)

Функция называется четной, если (в частности она симметрична относительно оси oy).

Функция называется нечетной, если. Такая функция симметрична относительно начала координат.

Функция, не являющаяся не четной не нечетной, называется функцией общего вида.

Функция называется периодической с периодом Т >0, если.

Примеры: