double arrow

Доказательство. Свойство 3 (свойство двух милиционеров): Пусть даны три последовательности (аn), (bn), (cn), такие что

Доказательство.

Доказательство.

>0 N (). Чтд.

Свойство 3 (свойство двух милиционеров): Пусть даны три последовательности (аn), (bn), (cn), такие что, что и. Если аnbncn, то.

Доказательство. По условию: пусть >0 – произвольное. Так как, тогда N 1 N 1:. Из условия следует, что для того же числа >0 N 2 N 2:. Положим, тогда:.

Свойство 4: Если, то.

Доказательство. Так как выполняется неравенство

и,,

то по свойству двух милиционеров

. Чтд.

Аналогично определению (11.1) можно дать определение ограниченной последовательности в виде: последовательность (an) называется ограниченной, если

RN. (11.4)

Свойство 5: Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть. Пусть N взято из (11.2) при =1::. Тогда обозначим через М наибольшее из чисел: М =max{| x 1|, | x 2|, …, | xN |, | a |+1}.

Рассмотрим 2 случая.

1. Если выполняется условие.

2. Если, тогда.

Следовательно -ограниченна. Чтд.

Свойство 6: Пусть,. Тогда

а);

б);

в);

г) если, то.

а) >0 N 1 N 1:

и >0 N 2 N 2:.

Положим, тогда >0 N ()

.

б) >0 N ():

. Чтд.

в) Так как существуют,, то по определению пределов N (): и, где М – число, ограничивающее по свойству 5 сходящую последовательность (an). Тогда

. Чтд.

г)

Покажем, что.

Так как (bn) – сходящаяся последовательность, то по свойству 5 она ограничена. Пусть.

?????

Свойство 7: Если, а – ограничена, то.

Доказательство. Пусть. Тогда исходя из неравенства и выполнения,, по свойству двух милиционеров.

Теорема Вейерштрасса: Всякая возрастающая числовая последовательность (аn) имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она неограниченна сверху, причем

.

Аналогично, если (аn) – убывающая последовательность, то она имеет предел и этот предел конечен, если последовательность ограничена снизу, и бесконечен, если она неограниченна снизу, причем

.

Доказательство. Пусть существует (аn) – возрастающая последовательность. Тогда Е ={ a 1, a 2, …, an, … } ограничено с верху. Пусть а= sup E (значение а может быть как конечным, так и бесконечным). Докажем, что.

Пусть >0 – взятое произвольно. Покажем, что. Если это не так, то:, но тогда () – мажоранта Е. Пришли к противоречию.

Аналогично рассматривается случай убывающей последовательности.

Лемма вложенных отрезков. Если [ an, bn ] – система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Тогда существует точка а, принадлежащая всем отрезкам этой системы, такая, что

а = =.

Так как, то (аn) – возрастающая ограниченная последовательность, (bn) – убывающая ограниченная последовательность. Тогда в силу теоремы Вейерштрасса а: = аn: а [ an, bn ].

Так как n, m (-фиксированное число) выполняется неравенство, следовательно bm – является мажорантой для (аn). Поэтому m:. И тогда точка а, принадлежит всем отрезкам системы [ an, bn ].

Вычислим:

= = =0+ а = а.

Докажем единственность. Пусть существует точка а', также принадлежащая всем отрезкам системы [ an, bn ]. Тогда n. Но так как = = а, то свойству двух милиционеров = а. А в силу единственности предела а' = а.

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Всякая ограниченная последовательность обладает сходящейся подпоследовательностью.

Доказательство. Пусть существует (хn) – ограниченная последовательность. Тогда R, что для всех номеров n выполняется неравенство:

.

Выберем произвольно какой-либо член последовательности, пусть его номер равен n 1:

.

Разделим отрезок [ a 0, b 0] на два равных отрезка, тогда по крайней мере в одном из них окажется бесконечно много членов рассматриваемой последовательности (хn). Обозначим этот отрезок [ a 1, b 1] и в нем найдется член этой последовательности с номером, большим n 1. Обозначим номер этого члена через n 2.

Таким образом, будем иметь

, n 2> n 1,.

Разделим отрезок [ a 1, b 1] снова на два равных отрезка и обозначим через [ a 2, b 2] тот из них, на котором имеется бесконечно много членов последовательности (хn). Среди них выберем член этой последовательности с номером, большим n 2. Обозначим этот номер через n 3, получим

, n 3> n 2,.

Продолжая этот процесс получим подпоследовательность последовательности (хn) такую, что

,,

, k =1, 2, …,

и, следовательно,.

В результате получилась система вложенных отрезков [ ak, bk ], k =0, 1, 2, …, длины которых стремятся к нулю. Следовательно, по лемме вложенных отрезков существует единственная точка а, принадлежащая всем этим отрезкам, такая, что

= = а.

Тогда по свойству двух милиционеров = а.

Это означает, что подпоследовательность имеет конечный предел, т.е. сходится.

Предел подпоследовательности числовой последовательности называется частичным пределом этой последовательности.

Числовая последовательность называется фундаментальной последовательностью, если

>0 N: (условие Коши)

или эквивалентно

>0 N р:.

Критерий Коши: Последовательность сходится тогда только тогда, когда она фундаментальна.

Число е (=2,71828…)

Числом е называется предел

.

Применив формулу бинома Ньютона

,

получим

= =

=1+1+.

Воспользовавшись неравенством мы можем показать, что последовательность строго возрастает и ограничена 2< хn <3, а следовательно имеет конечный предел по тереме Вейерштрасса.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: