Доказательство.
Доказательство.
>0 N (). Чтд.
Свойство 3 (свойство двух милиционеров): Пусть даны три последовательности (аn), (bn), (cn), такие что, что и. Если аn ≤ bn ≤ cn, то.
Доказательство. По условию: пусть >0 – произвольное. Так как, тогда N 1 N 1:. Из условия следует, что для того же числа >0 N 2 N 2:. Положим, тогда:.
Свойство 4: Если, то.
Доказательство. Так как выполняется неравенство
и,,
то по свойству двух милиционеров
. Чтд.
Аналогично определению (11.1) можно дать определение ограниченной последовательности в виде: последовательность (an) называется ограниченной, если
RN. (11.4)
Свойство 5: Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть. Пусть N взято из (11.2) при =1::. Тогда обозначим через М наибольшее из чисел: М =max{| x 1|, | x 2|, …, | xN |, | a |+1}.
Рассмотрим 2 случая.
1. Если выполняется условие.
2. Если, тогда.
Следовательно -ограниченна. Чтд.
Свойство 6: Пусть,. Тогда
а);
б);
в);
г) если, то.
а) >0 N 1 N 1:
и >0 N 2 N 2:.
Положим, тогда >0 N ()
.
б) >0 N ():
. Чтд.
|
|
в) Так как существуют,, то по определению пределов N (): и, где М – число, ограничивающее по свойству 5 сходящую последовательность (an). Тогда
. Чтд.
г)
Покажем, что.
Так как (bn) – сходящаяся последовательность, то по свойству 5 она ограничена. Пусть.
?????
Свойство 7: Если, а – ограничена, то.
Доказательство. Пусть. Тогда исходя из неравенства и выполнения,, по свойству двух милиционеров.
Теорема Вейерштрасса: Всякая возрастающая числовая последовательность (аn) имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она неограниченна сверху, причем
.
Аналогично, если (аn) – убывающая последовательность, то она имеет предел и этот предел конечен, если последовательность ограничена снизу, и бесконечен, если она неограниченна снизу, причем
.
Доказательство. Пусть существует (аn) – возрастающая последовательность. Тогда Е ={ a 1, a 2, …, an, … } ограничено с верху. Пусть а= sup E (значение а может быть как конечным, так и бесконечным). Докажем, что.
Пусть >0 – взятое произвольно. Покажем, что. Если это не так, то:, но тогда () – мажоранта Е. Пришли к противоречию.
Аналогично рассматривается случай убывающей последовательности.
Лемма вложенных отрезков. Если [ an, bn ] – система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Тогда существует точка а, принадлежащая всем отрезкам этой системы, такая, что
а = =.
Так как, то (аn) – возрастающая ограниченная последовательность, (bn) – убывающая ограниченная последовательность. Тогда в силу теоремы Вейерштрасса а: = аn: а [ an, bn ].
Так как n, m (-фиксированное число) выполняется неравенство, следовательно bm – является мажорантой для (аn). Поэтому m:. И тогда точка а, принадлежит всем отрезкам системы [ an, bn ].
|
|
Вычислим:
= = =0+ а = а.
Докажем единственность. Пусть существует точка а', также принадлежащая всем отрезкам системы [ an, bn ]. Тогда n. Но так как = = а, то свойству двух милиционеров = а. А в силу единственности предела а' = а.
Теорема Больцано-Вейерштрасса: Всякая ограниченная последовательность обладает сходящейся подпоследовательностью.
Доказательство. Пусть существует (хn) – ограниченная последовательность. Тогда R, что для всех номеров n выполняется неравенство:
.
Выберем произвольно какой-либо член последовательности, пусть его номер равен n 1:
.
Разделим отрезок [ a 0, b 0] на два равных отрезка, тогда по крайней мере в одном из них окажется бесконечно много членов рассматриваемой последовательности (хn). Обозначим этот отрезок [ a 1, b 1] и в нем найдется член этой последовательности с номером, большим n 1. Обозначим номер этого члена через n 2.
Таким образом, будем иметь
, n 2> n 1,.
Разделим отрезок [ a 1, b 1] снова на два равных отрезка и обозначим через [ a 2, b 2] тот из них, на котором имеется бесконечно много членов последовательности (хn). Среди них выберем член этой последовательности с номером, большим n 2. Обозначим этот номер через n 3, получим
, n 3> n 2,.
Продолжая этот процесс получим подпоследовательность последовательности (хn) такую, что
,,
, k =1, 2, …,
и, следовательно,.
В результате получилась система вложенных отрезков [ ak, bk ], k =0, 1, 2, …, длины которых стремятся к нулю. Следовательно, по лемме вложенных отрезков существует единственная точка а, принадлежащая всем этим отрезкам, такая, что
= = а.
Тогда по свойству двух милиционеров = а.
Это означает, что подпоследовательность имеет конечный предел, т.е. сходится.
Предел подпоследовательности числовой последовательности называется частичным пределом этой последовательности.
Числовая последовательность называется фундаментальной последовательностью, если
>0 N: (условие Коши)
или эквивалентно
>0 N р:.
Критерий Коши: Последовательность сходится тогда только тогда, когда она фундаментальна.
Число е (=2,71828…)
Числом е называется предел
.
Применив формулу бинома Ньютона
,
получим
= =
=1+1+.
Воспользовавшись неравенством мы можем показать, что последовательность строго возрастает и ограничена 2< хn <3, а следовательно имеет конечный предел по тереме Вейерштрасса.