double arrow

Бесконечно малые и бесконечно большие функции


Определение 1. Пусть функция определена на множестве и - его точка сгущения. Функция называется бесконечно малой при если .

Упражнения. 1. Покажите, что - бесконечно малая функция при .

2. Докажите, что функция - бесконечно малая при в том и только том случае, если функция - бесконечно малая при .

Следующая теорема является простым следствием теоремы о пределе суммы.

Теорема 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при функций есть бесконечно малая при функция.

Теорема 2.Произведение бесконечно малой при функции и ограниченной в окрестности точки функции является бесконечно малой при функцией.

Замечание 1. Точнее в этой теореме предполагается, что функция ограничена на множестве , где – некоторая окрестность точки , которая является точкой сгущения множества (это же множество, без ущерба для общности, можно считать и областью определения функции ).

С учетом определения предела функции по Гейне, эта теорема является прямым следствием аналогичной теоремы для числовых последовательностей (теоремы о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность).




Определение 2.Пусть – точка сгущения множества . Функция называется бесконечно большой при , если .

Теорема 3(о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими). Пусть - точка сгущения множества и на (или, хотя бы, в некоторой окрестности точки ). Тогда

1) если – бесконечно малая при функция, то – бесконечно большая при функция;

2) если же – бесконечно большая при функция, то – бесконечно малая при функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Выберем произвольное и положим . Так как , то найдется такая окрестность точки , что

и, следовательно, . В силу произвольности это и означает, что – бесконечно большая при функция.

2) Возьмем произвольное и положим . Поскольку , то найдется такая окрестность точки , что

,

Поэтому , т.е. то – бесконечно малая при функция □

§6. Символы «о» и «О». Эквивалентные прифункции.

Пусть функции и определены на множестве и – точка сгущения множества . Пусть также в некоторой проколотой окрестности точки функция отлична от нуля (точнее, ). Там где это ниже необходимо по смыслу, будем также считать, что в той же проколотой окрестности отлична от нуля и функция .

Определения: 1. Если

,

то говорят, что функция есть о-малое от функции при , и пишут

при .

2.Если функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. если она ограничена на множестве , то говорят, что функция есть о-большое от функции при , и пишут

при .

3. Говорят, что функции и одного порядка при , если

и при .

4.Говорят, что функции и асимптотически равны при , если







Сейчас читают про: