А. Локальные свойства функций, имеющих предел

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и – некоторое его подмножество (). Говорят, что функция ограничена на множестве , если его образ есть ограниченное множество.

Замечание 1. Аналогично вводятся понятия ограниченности функции на множестве сверху и снизу.

Замечание 2. Ограниченность функции на множестве очевидно означает, что .

Теорема 1 (о локальной ограниченности). Пустьфункция определена на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существует предел , то в некоторой окрестности точки функция является ограниченной. Точнее, существует такая окрестность точки , что функция ограничена на множестве .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и Тогда по определению предела для найдется такая окрестность точки , что

А так как

,

то

Следовательно функция ограничена на множестве , а тогда она, очевидно,ограничена и на множестве □

Ниже знак числа обозначается через .

Теорема 2 (о стабилизации знака). Пустьфункция определена на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существует отличный от нуля предел , то в некоторой проколотой окрестности точки функция имеет тот же знак, что и этот предел: точнее, существует такая окрестность точки , что

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности .

Тогда - некоторая окрестность точки . По определению предела существует такая окрестность точки , что , а по выбору окрестности это означает, что , и, следовательно, имеет место равенство (1) □

§ 2б. Предел суперпозиции.
Теорема (о пределе суперпозиции). Пусть функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел

.

(2)

Пусть, кроме того, функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел.

.

(3)

Тогда, если , то на множестве имеет смысл суперпозиция и существует предел.

.

(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную окрестность точки . Тогда, в силу равенства (3), найдется окрестность точки такая, что

(5)

В свою очередь, в силу равенства (2), для окрестности точки найдется такая окрестность точки , что

,

а так как и по условию , то отсюда следует, что

.

(6)

Из включений (5) и (6) следует, что

.

Таким образом, для произвольно выбранной окрестности точки нашлась окрестность точки такая, что . По определению предела это и означает, что имеет место равенство (4) □