Понятие непрерывной функции

Замечания: 1.Как следует из определений 1 и 2, соответственно, запись (при ) означает, что функция – бесконечно малая при , а запись (при ) означает, что функция ограничена в окрестности точки .

2.Если при , то в силу теоремы о локальной ограниченности функции, имеющей (конечный) предел, тем более при .

Упражнение 1. Покажите, что (функции и – функции одного порядка) ⇔ (, - окрестность точки , что при ).

Определения: 5.Пусть и – бесконечно малые при функции. Функция называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией , если при .

6. Если бесконечно малые при функции и асимптотически равны, то говорят, что они эквивалентны при ,при этом пишут ~().

Теорема 1.Пусть и при . Тогда

[~()] ⇔ [≜при ]

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость (⇒). Так как ~(), то

т.е. при .

Достаточность (⇐). Поскольку при , то

т.е. ~() □

Теорема 2. Пусть и– бесконечно малые при функции, причем ~, а ~при . Тогда если

то и

Замечание 3.Иными словами в этой теореме утверждается, что при отыскании предела частного бесконечно малых функций, каждую из этих бесконечно малых можно заменить на эквивалентную бесконечно малую.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Поскольку

и по условию

то по теореме о пределе частного имеем

□

По аналогии с определениями 5 и 6 вводятся следующие определения для бесконечно больших функций.

Определения: 7.Пусть и – бесконечно большие при функции. Функция называется бесконечно большой высшего порядка по сравнению с функцией , если – бесконечно большая при функция, т.е. если при .

8. Если бесконечно большие при функции и асимптотически равны при , то говорят, что они эквивалентны при .

Замечание 4.Теоремы 1 и 2 при надлежащих изменениях сохраняют свою силу для бесконечно больших функций.

Определение 9.Пусть и – бесконечно малые (бесконечно большие) при функции. Если и функции и одного порядка при (здесь ), то говорят, что – бесконечно малая (бесконечно большая) порядка по сравнению .

Определение 10. Пусть и – бесконечно малые (бесконечно большие) при функции. Если и ~ при , то говорят, что функция (при сравнении с ) имеет главную часть

Определение 1.Функция , , называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству

(1)

справедливо также и неравенство

(2)

Замечание 1. Данное определение иногда называется определением непрерывности функции на языке . По форме оно явно напоминает определение предела функции в форме Коши, при этом в отличие от него здесь требуется, чтобы точка принадлежала множеству , но не требуется, чтобы она была точкой сгущения этого множества.

В связи с последним замечанием отметим, что если точка не является точкой сгущения множества , то она называется изолированной точкой этого множества. Иными словами точка называется изолированной точкой множества , если существует такая ее окрестность , что Æ или, что тоже самое, .

Замечание 2.Согласно определению 1 в любой изолированной точке своей области определения всякая функция является непрерывной. Действительно, каково бы ни было по определению изолированной точки можно выбрать столь малое , что и, следовательно, при этом среди точек множества неравенству (1) будет удовлетворять только точка , но длянеравенство (2) очевидно выполняется для любой функции .

Замечание 3.В силу того, что для неравенство (2) выполняется очевидным образом, можно заключить, что в том случае, когда точка является точкой сгущения множества , неравенство (1) можно заменить неравенствами: , при этом определение 1 превратится в определение предела при . Таким образом, можно сказать, что если точка является точкой сгущения множества , то функция будет непрерывной в этой точке в том и только том, случае, когда .

Замечание 4.На языке окрестностей определение 1 можно переформулировать следующим образом:

Определение 1’.Функция , , называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что

(т.е. ).

Это определение, а значит и определение 1, очевидно равносильно следующему определению:

Определение 1”. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любой окрестности точки существует такая окрестность точки , что

С учетом замечаний 2 и 3, теоремы о равносильности определений предела по Коши и по Гейне, а также с учетом того, что всякую точку можно представить в виде ,^*) заключаем, что определения 1 и 1’ равносильны следующему определению: