.
Замечания: 1.Как следует из определений 1 и 2, соответственно, запись (при
) означает, что функция
– бесконечно малая при
, а запись
(при
) означает, что функция
ограничена в окрестности точки
.
2.Если при
, то в силу теоремы о локальной ограниченности функции, имеющей (конечный) предел, тем более
при
.
Упражнение 1. Покажите, что (функции и
– функции одного порядка) ⇔ (
,
- окрестность точки
, что
при
).
Определения: 5.Пусть и
– бесконечно малые при
функции. Функция
называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией
, если
при
.
6. Если бесконечно малые при функции
и
асимптотически равны, то говорят, что они эквивалентны при
,при этом пишут
~
(
).
Теорема 1.Пусть и
при
. Тогда
[~
(
)] ⇔ [
≜
при
]
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость (⇒). Так как ~
(
), то
,
т.е. при
.
Достаточность (⇐). Поскольку при
, то
,
т.е. ~
(
) □
Теорема 2. Пусть и
– бесконечно малые при
функции, причем
~
, а
~
при
. Тогда если
,
то и
.
Замечание 3.Иными словами в этой теореме утверждается, что при отыскании предела частного бесконечно малых функций, каждую из этих бесконечно малых можно заменить на эквивалентную бесконечно малую.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Поскольку
и по условию
,
,
,
то по теореме о пределе частного имеем
□
По аналогии с определениями 5 и 6 вводятся следующие определения для бесконечно больших функций.
Определения: 7.Пусть и
– бесконечно большие при
функции. Функция
называется бесконечно большой высшего порядка по сравнению с функцией
, если
– бесконечно большая при
функция, т.е. если
при
.
8. Если бесконечно большие при функции
и
асимптотически равны при
, то говорят, что они эквивалентны при
.
Замечание 4.Теоремы 1 и 2 при надлежащих изменениях сохраняют свою силу для бесконечно больших функций.
Определение 9.Пусть и
– бесконечно малые (бесконечно большие) при
функции. Если
и функции
и
одного порядка при
(здесь
), то говорят, что
– бесконечно малая (бесконечно большая) порядка
по сравнению
.
Определение 10. Пусть и
– бесконечно малые (бесконечно большие) при
функции. Если
и
~
при
, то говорят, что функция
(при сравнении с
) имеет главную часть
Определение 1.Функция ,
, называется непрерывной в точке
, если для любого
существует такое
, что для любого
, удовлетворяющего неравенству
![]() | (1) |
справедливо также и неравенство
![]() | (2) |
Замечание 1. Данное определение иногда называется определением непрерывности функции на языке . По форме оно явно напоминает определение предела функции в форме Коши, при этом в отличие от него здесь требуется, чтобы точка
принадлежала множеству
, но не требуется, чтобы она была точкой сгущения этого множества.
В связи с последним замечанием отметим, что если точка не является точкой сгущения множества
, то она называется изолированной точкой этого множества. Иными словами точка
называется изолированной точкой множества
, если существует такая ее окрестность
, что
Æ или, что тоже самое,
.
Замечание 2.Согласно определению 1 в любой изолированной точке своей области определения всякая функция является непрерывной. Действительно, каково бы ни было по определению изолированной точки можно выбрать столь малое
, что
и, следовательно, при этом
среди точек множества
неравенству (1) будет удовлетворять только точка
, но для
неравенство (2) очевидно выполняется для любой функции
.
Замечание 3.В силу того, что для неравенство (2) выполняется очевидным образом, можно заключить, что в том случае, когда точка
является точкой сгущения множества
, неравенство (1) можно заменить неравенствами:
, при этом определение 1 превратится в определение предела
при
. Таким образом, можно сказать, что если точка
является точкой сгущения множества
, то функция
будет непрерывной в этой точке в том и только том, случае, когда
.
Замечание 4.На языке окрестностей определение 1 можно переформулировать следующим образом:
Определение 1’.Функция ,
, называется непрерывной в точке
, если для любого
существует такое
, что
(т.е. ).
Это определение, а значит и определение 1, очевидно равносильно следующему определению:
Определение 1”. Функция ,
, называется непрерывной в точке
, если для любой окрестности
точки
существует такая окрестность
точки
, что
.
С учетом замечаний 2 и 3, теоремы о равносильности определений предела по Коши и по Гейне, а также с учетом того, что всякую точку можно представить в виде
,*) заключаем, что определения 1 и 1’ равносильны следующему определению:
Определение 2.Функция ,
, называется непрерывной в точке
, если для любой последовательности точек
,
, последовательность
сходится и