Пусть - точка сгущения множества
. Тогда она является точкой сгущения, по крайней мере, одного из множеств
и
Вместе с тем, точкой сгущения обоих этих множеств, одновременно, она может и не быть, так как одно из них может быть, например, пустым.
Пусть . Положим
и
.
Определение 1. Пусть - точка сгущения множества
(соотв.,
). Если существует предел
(соотв.,
), то он называется левосторонним (соотв., правосторонним) пределом функции
в точке
, или также пределом функции
при
слева (соотв., при
справа).
В отличие от левостороннего и правостороннего пределов «обычный» предел функциипри
называется иногда двусторонним.
Левосторонний предел функции в точке
обозначается обычно одним из символов
или
,
а правосторонний, соответственно, – одним из символов
или
..
Замечание 1. Поскольку односторонние пределы являются в то же время и обычными пределами, то для них справедливы все теоремы, которые устанавливаются для обычных двусторонних пределов.
Теорема 1. Пусть ,
и
– точкасгущения каждого из множеств
и
. Тогда, если существуют равные между собой односторонние пределы
и
, то существует и равный им двусторонний предел
=
=
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что пересечение любых двух окрестностей точки является окрестностью этой точки.
Пусть
=
=
и - произвольная окрестность точки
.
По определению имеем:
- окрестность точки точки
такая, что
![]() | (1) |
Аналогично, по определению имеем:
- окрестность точки
такая, что
![]() | (2) |
Рассмотрим теперь следующую окрестность точки :
. Очевидно,
и
.
Следовательно,
,
и, кроме того, ясно, что
.
Поэтому из (1) и (2) следует, что
В силу произвольности выбранной окрестности точки
, это и означает, что
□
§4. Расширение понятия предела: бесконечные пределы и пределы в бесконечности
Определения.1. Окрестностью точки в
называется всякое множество
, которое содержит некоторую
-окрестность
этой точки.
2. Окрестностью точки в
называется любой промежуток вида
, где
.
3. Окрестностью точки в
называется любой промежуток вида
, где
.
4. Пусть и
–окрестность этой точки (в
). Тогда множество
называется проколотой окрестностью точки .
5. Точка называется точкой сгущения множества
, если для любой окрестности
этой точки
Æ.
Теперь естественным образом можно расширить понятие предела для случая, когда обе или одна из точек
и
являются бесконечными точками расширенной числовой оси
. Соответствующее определение почти дословно повторяет определение 2” из §1.
Определение 6.Пусть – точка сгущения множества
и функция
определена на множестве
. Конечное или бесконечное число (точка)
называется пределом функции
при
(или в точке
), если для любой окрестности
точки
(в
) существует такая окрестность
точки
(в
), что
.
Замечание 1. Для различных типов точек и
определение 5 можно детализировать с учетом определения окрестностей для соответствующих типов точек. Например, равенство
означает, что
такое, что
.
Упражнение 1. По аналогии с тем, как это сделано в замечании 2, сформулировать, что означает
А) ,
Б) ,
В) ,
Г) (
),
Д) (
),
Е) (
),
Ж) (
).
Замечание 2. Если существуют пределы функции как при
, так и при
, причем
,
то пишут
.