Односторонние пределы

Пусть - точка сгущения множества . Тогда она является точкой сгущения, по крайней мере, одного из множеств

и

Вместе с тем, точкой сгущения обоих этих множеств, одновременно, она может и не быть, так как одно из них может быть, например, пустым.

Пусть . Положим и .

Определение 1. Пусть - точка сгущения множества (соотв., ). Если существует предел (соотв., ), то он называется левосторонним (соотв., правосторонним) пределом функции в точке , или также пределом функции при слева (соотв., при справа).

В отличие от левостороннего и правостороннего пределов «обычный» предел функциипри называется иногда двусторонним.

Левосторонний предел функции в точке обозначается обычно одним из символов

или ,

а правосторонний, соответственно, – одним из символов

или ..

Замечание 1. Поскольку односторонние пределы являются в то же время и обычными пределами, то для них справедливы все теоремы, которые устанавливаются для обычных двусторонних пределов.

Теорема 1. Пусть , и – точкасгущения каждого из множеств и . Тогда, если существуют равные между собой односторонние пределы и , то существует и равный им двусторонний предел

==.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что пересечение любых двух окрестностей точки является окрестностью этой точки.

Пусть

= =

и - произвольная окрестность точки .

По определению имеем: - окрестность точки точки такая, что

(1)

Аналогично, по определению имеем: - окрестность точки такая, что

(2)

Рассмотрим теперь следующую окрестность точки : . Очевидно,

и .

Следовательно,

,

и, кроме того, ясно, что

.

Поэтому из (1) и (2) следует, что

В силу произвольности выбранной окрестности точки , это и означает, что □

§4. Расширение понятия предела: бесконечные пределы и пределы в бесконечности

Определения. 1. Окрестностью точки в называется всякое множество , которое содержит некоторую -окрестность этой точки.

2. Окрестностью точки в называется любой промежуток вида , где .

3. Окрестностью точки в называется любой промежуток вида , где .

4. Пусть и –окрестность этой точки (в ). Тогда множество

называется проколотой окрестностью точки .

5. Точка называется точкой сгущения множества , если для любой окрестности этой точки

Æ.

Теперь естественным образом можно расширить понятие предела для случая, когда обе или одна из точек и являются бесконечными точками расширенной числовой оси . Соответствующее определение почти дословно повторяет определение 2” из §1.

Определение 6. Пусть – точка сгущения множества и функция определена на множестве . Конечное или бесконечное число (точка) называется пределом функции при (или в точке ), если для любой окрестности точки (в ) существует такая окрестность точки (в ), что

.

Замечание 1. Для различных типов точек и определение 5 можно детализировать с учетом определения окрестностей для соответствующих типов точек. Например, равенство означает, что такое, что .

Упражнение 1. По аналогии с тем, как это сделано в замечании 2, сформулировать, что означает

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) (),

Д) (),

Е) (),

Ж) ().

Замечание 2. Если существуют пределы функции как при , так и при , причем

,

то пишут

.