Теорема(о пределе суперпозиции). Пусть функция определена на множестве
,
– точка сгущения множества
и существует предел
![]() | (2) |
Пусть, кроме того, функция определена на множестве
,
– точка сгущения множества
и существует предел.
![]() | (3) |
Тогда, если , то на множестве
имеет смысл суперпозиция
и существует предел.
![]() | (4) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную окрестность точки
. Тогда, в силу равенства (3), найдется окрестность
точки
такая, что
![]() | (5) |
В свою очередь, в силу равенства (2), для окрестности точки
найдется такая окрестность
точки
, что
,
а так как и по условию
, то отсюда следует, что
![]() | (6) |
Из включений (5) и (6) следует, что
.
Таким образом, для произвольно выбранной окрестности точки
нашлась такая окрестность
точки
, что
. По определению предела это и означает, что имеет место равенство (4) □