Б. Теорема о пределе суперпозиции

Теорема (о пределе суперпозиции). Пусть функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел

.

(2)

Пусть, кроме того, функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел.

.

(3)

Тогда, если , то на множестве имеет смысл суперпозиция и существует предел.

.

(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную окрестность точки . Тогда, в силу равенства (3), найдется окрестность точки такая, что

(5)

В свою очередь, в силу равенства (2), для окрестности точки найдется такая окрестность точки , что

,

а так как и по условию , то отсюда следует, что

.

(6)

Из включений (5) и (6) следует, что

.

Таким образом, для произвольно выбранной окрестности точки нашлась такая окрестность точки , что . По определению предела это и означает, что имеет место равенство (4) □