Дифференцирование сложной функции

1) Напомним, что суперпозицию двух и более функций мы называем также сложной функцией.

Теорема. Пусть функция определена на интервале , а функция определена на интервале , причем . Тогда если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости функций и , соответственно, в точках и , имеем

(2)

(3)

Как известно

(4)

где - бесконечно малая при , причем без ущерба для общности можно считать, что , то есть можно считать, что функция непрерывна в точке .

Из (3) и (4) следует, что

Подставляя сюда , и используя затем равенство (2), получим

и, следовательно,

(5)

Поскольку функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке и , то по теореме о непрерывности сложной функции

А так как, кроме того,

то из (5) следует, что существует конечная производная

и имеет место равенство (1). Для завершения доказательства теоремы остается вспомнить, что существование конечной производной равносильно дифференцируемости функции в точке .

Замечание. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по определению дифференциала

(6)

И, в силу равенства (1), для сложной функции будем иметь

или

(7)

Считая точку произвольной (то есть заменяя на произвольное ). Равенства (6) и (7) записывают в виде

	(6¢)
	(7¢)

Эти формулы показывают, что формально вид дифференциала не меняется как при записи его через независимую переменную , так и при записи через зависимую переменную. В этом состоит, так называемое, свойство инвариантности дифференциала, который называют также первым дифференциалом.