Дифференцирование обратной функции

Прежне всего напомним, что всякая строго монотонная функция имеет обратную , которая строго монотонна в том же смысле, что и “прямая” функция. При этом обратная функция будет непрерывной на промежутке , если прямая строго монотонная функция непрерывна на промежутке .

Теорема. Пусть функция строго монотонна и непрерывна в окрестности точки . Пусть, кроме того, функция дифференцируема в точке и . Тогда обратная к ней функция дифференцируема в точке , причем

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы следует, что существует конечный, отличный от нуля предел

Тогда по теореме о пределе частного существует конечный предел

(2)

Рассмотрим функцию

.

(3)

В силу строгой монотонности функции она определена в проколотой окрестности точки . В точке функция имеет конечный предел (2). Поэтому если доопределить ее в этой точке равенством

,

то она будет непрерывной в этой точке. Тогда учитывая, что функция непрерывна в точке (как обратная к непрерывной, строго монотонной функции ), по теореме о непрерывности суперпозиции заключаем, что сложная функция будет непрерывной в той же точке и, следовательно,

(4)

Поскольку в некоторой проколотой окрестности точки в силу равенства (3) имеет место равенство

,

и предел функции в данной точке не зависит от того, как она определена в этой точке, то из (4) следует, что функция дифференцируема в точке и имеют место равенства (1) □