2014-02-09
1653
n°1. Понятие производной.
Пусть 
и 
. Точка 
называется внутренней точкой множества 
, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. существует такая окрестность 
точки 
, что 
.
Пусть теперь функция 
определена на множестве и - внутренняя точка множества .Тогда существует такая окрестность точки , что и, следовательно, функция
определена на множестве 
и – точка сгущения этого множества. Таким образом, корректно следующее
Определение 1. Если существует предел
,
то он называется производной функции в точке .
Производная функции (
) в точке обозначается одним из следующих символов:
, 
, 
, 
,
при этом если ясно, в какой точке рассматривается производная, то для ее обозначения используют символы: 
, 
, 
, 
.
Таким образом,
 | (1) |
Замечание 1: Если положить 
, 
, то теорема о пределе суперпозиции позволяет также определить производную с помощью любого из равенств:
 , | (2) |
 . | (3) |
Величины 
и 
называют, соответственно, приращением аргумента и приращением функции в точке . В соответствии с равенством (3), можно сказать, что производная равна пределу отношения приращения функции (в точке ) к приращению аргумента.
Замечание 2: Определение производной выше было дано в предположении, что точка - внутренняя точка области определения функции . Если же точка не является внутренней точкой множества , но принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей односторонней окрестностью 
, или 
, то можно ввести понятие односторонней производной:
(правая производная)
(левая производная).
Замечание 3: Если предел (1) равен 
или 
, то производная называется бесконечной.
Теорема 1. Пусть функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке конечную производную. Тогда она непрерывна в этой точке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что
□
§2. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала и его геометрический и физический смысл.
Пусть функция определена в окрестности точки .
Определение 1. Если существует такая линейная функция 
вещественного аргумента 
(
), что приращение 
функции может быть представлено в виде
 | (1) |
где 
- бесконечно малая при 
высшего порядка по сравнению с функцией 
(т.е. 
при ), то функция называется дифференцируемой в точке , а соответствующая линейная функция называется ее дифференциалом в этой точке.
Дифференциал функции в точке обычно обозначается одним из символов:
или 
.
В последнем случае имеют в виду, что , при этом часто опускают указание о том, в какой точке рассматривается этот дифференциал, т.е. для обозначения дифференциала используют символы 
или 
. Таким образом,
 . | (2) |
Замечание 1: Очевидно, равенство (1) можно записать в виде
 | (1’) |
,
где , или, короче, в виде
 | (1’’) |
где 
- приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента . Поэтому вместо (2) также пишут:
 | (2’) |
т.е. трактуют аргумент в (2) как переменное приращение аргумента функции в точке .
Теорема 1. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда из равенства (1) следует, что
Это означает, что существует конечная производная
.
Достаточность. Предположим, что в точке функция имеет конечную производную . Тогда из равенства
следует, что
 , | (3) |
где 
- бесконечно малая при функция. Поэтому
 | (4) |
и так как
(ибо 
),
то равенство (4) можно записать в виде:
 , | (5) |
т.е. в виде (1), где 
. Таким образом, функция дифференцируема в точке . □
Замечание 2: С учетом доказательства теоремы можно утверждать, что дифференциал функции в точке есть следующая линейная функция от приращения аргумента :
 . | (6) |
А поскольку для функции 
имеем 
, то
,
т.е.
,
то можно сказать, что- - дифференциал 
независимой переменной 
и, следовательно, определению дифференциала можно придать форму:
 . | (7) |
Отсюда, в частности, становится понятным, почему для обозначения производной используют также обозначение .
Геометрический смысл дифференциала: Нетрудно убедиться, что значение дифференциала в точке 
равно приращению ординаты касательной к графику функции в точке 
. Подробнее об этои см. учебники Фихтенгольца и Кудрявцева.
Физический смысл дифференциала: Если 
– длина пути, проходимого материальной точкой за время 
, то дифференциал 
(
– скорость в момент времени ) – путь, который она бы прошла за промежуток времени 
при условии, что она бы двигалась на нем с постоянной скоростью, равной скорости 
в момент времени . Если 
– количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени , то дифференциал 
(
– сила тока в момент времени ) – количество электричества, которое протекло бы через это поперечно сечение за время , точнее от момента времени до момента времени 
, при условии, что сила тока была бы постоянной и равнялась силе тока в момент времени .
§3. Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
Теорема. Пусть функции и 
определены в окрестности точки и дифференцируемы в этой точке. Тогда в этой точке дифференцируема и каждая из функций
, 
, 
и 
(при 
),
причем
 , | (1) |
 , | (2) |
 , | (3) |
 . | (4) |
Д о к а з а т е л ь с т в о: 1. Дифференцируемость функции и равенство (1) очевидно будут установлены, если будут установлены дифференцируемость функции и равенство (3). В последнем случае достаточно будет рассмотреть функцию 
.
2. Дифференцируемость функции 
и равенство (2) вытекают из того, что имеют место равенства
и из того, что по условию существуют конечные пределы
и 
,
при этом следует помнить, что дифференцируемость функции в точке равносильна существованию конечной ее производной в этой точке.
3. Дифференцируемость произведения функций и равенство (3).
Пусть
.
Тогда
,
и, следовательно,
.
 | (5) |
В силу дифференцируемости функций и в точке , существуют конечные пределы
, и  | (6) |
Поэтому из (5) следует, что существует конечный предел
 , | (7) |
т.е. функция 
дифференцируема в точке . Переходя в равенстве (5) к пределу при 
с учетом равенств (6) и (7) получим равенство (3).
4. Дифференцируемость и равенство (4). Положим 
. По крайней мере, в некоторой окрестности точки , это определение корректно, так как и функция непрерывна в точке .
Далее, имеем:
,
и, следовательно,
.
Рассуждая теперь аналогично пункту 3 данного доказательства, убеждаемся, что функция 
дифференцируема в точке , а переходя здесь к пределу при 
получим также и равенство (4). □
Замечание (о формулах для дифференциалов, вытекающих из формул (1) - (6)). Учитывая, что дифференциал функции в точке находится по правилу 
из формул (1)–(4), умножая каждую из них на , получим следующие формулы для дифференциалов:
(здесь 
);
;
;
.
