Скалярное произведение векторов
Опр. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:
1. (очевидно из определения).
2. , то есть числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения.
∆
а) Правые части равны,
значит, равны и левые.
б) ,
И в этом случае правые части равны, значит, равны и левые. Свойство доказано.
3. (признак перпендикулярности векторов).
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
5. Скалярное произведение векторов и, заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой:
∆ Пусть не нулевые и не коллинеарные векторы. Отложим их от одной точки пространства.
Применим к теорему косинусов:
,
Подставляя в равенство получим:
▲
Задача. Рассмотрите случай
6. При доказательстве используется свойство 5.
7.