Координаты вектора

4.1. Разложение вектора по трем некомпланарным

Теорема 8. Если некомпланарные векторы, то для любого вектора существуют единственные числа такие, что

(3)

Запись (3) называется разложением вектора по векторам

Следствие. Система, содержащая более трех векторов, л\з.

4.2. Базис векторного пространства

!Опр. Базисом векторного пространства называется упорядоченная система векторов, удовлетворяющая двум условиям:

1) они линейно независимы; 2)любой вектор пространства является их линейной

комбинацией.

Опр. Число векторов в базисе называется размерностью пространства.

Из теоремы 8 следует, что любые 3 некомпланарные вектора образуют базис 3-хмерного векторного пространства.

Обозначение базиса

4.3. Координаты вектора

Пусть - базис, произвольный вектор. По теореме 8 существуют единственные числа такие, что

Это представление называется разложением вектора по базису.

Опр. Коэффициенты разложения называются координатами вектора в базисе

Задачи. 1) Запишите координаты векторов в базисе

2) Каков базис на прямой? На плоскости?

Свойства координат векторов

С1. При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются).

С2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

С3. Равные векторы имеют соответственно равные координаты.

С4. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

4.4. Ортонормированный базис

В геометрии часто решаются задачи метрического характера: вычисление длин, площадей, углов. Эти задачи проще решать, выбирая специальный базис.

Опр. Базис 3-хмерного векторного пространства, состоящий из 3-х взаимно ортогональных и единичных векторов, называется ортонормированным.

Теорема 9. Длина вектора в ортонормированном базисе равна

Указание. При доказательстве используется теорема: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов 3-х его измерений.