И приведение его к каноническому виду

Общее уравнение линии 2-го порядка

В аффинной системе координат общее уравнение линии 2-го порядка имеет вид:

(11)

Коэффициенты не равны) одновременно.

Приведем уравнение (11) к каноническому виду. Для этого будем рассматривать его в ортонормированном репере

Часть 1. Преобразуем систему координат поворотом на угол вокруг начала.

Запишем формулы преобразования:

(12)

Подставим (12) в (11):

В новых переменных уравнение запишем так:

(11’)

где (13)

1/ Если то подберем уголтак, чтобы уравнение (11’) не содержало члена с произведением то есть чтобы

Определитель равен) тогда и только тогда, когда его строки пропорциональны:

(14’)

(14)

Система (14) однородных уравнений имеет нетривиальное решение, если её определитель равен 0:

(15)

Опр. Уравнение (15) называется характеристическим уравнением линии 2-го порядка.

Покажем, что его коэффициенты не зависят от выбора ортонормированного репера.

Из (13):

2.По предположению поэтому дискриминант уравнения (15):

Значит, характеристическое уравнение (15) всегда имеет действительные и различные корни и Из (14) следует:

(16)

По формулам Виета: и

Тогда

Любой из углов можно взять за угол поворота осей, при этом исчезает член с произведением

Найдем коэффициенты уравнения (11’) из системы (13), учитывая(14’).

Итак, для любой линии 2-го порядка, заданной в ортонормированном репере уравнением (11), существует ортонормированный репер в котором её уравнение имеет вид (17):

(17)

Пример. Приведите к каноническому виду уравнение:

∆ 1.Запишем характеристическое уравнение данной кривой и найдем его корни.

(15)

2. В новой системе координат уравнение имеет вид:

(17)- эллипс.

3. Запишем формулы преобразования координат.

(16)или

(12)

4. Чертеж.

Часть 2. Исследуем уравнение (17):

Случай 1.

Преобразуем уравнение (17), выделяя полные квадраты.

(18)

Перенесем начало координат в точку то есть выполним преобразование «перенос начала координат»:

Уравнение (18) примет вид:

(19)

а) б)

Вывод. Если корни характеристического уравнения не равны 0, то линия 2-го порядка является линией одного из следующих видов:

№				Каноническое уравнение	Название линии
1.	+ -	+ -	- +		Эллипс
2.	+ -	+ -	+ -		Мнимый эллипс
3.	+ -	+ -			Точка пара мнимых прямых, пересека- ющихся в этой точке
4.	+ -	- +			Гипербола
5.	+ -	- +			Пара пересекающихся прямых

Случай 2.

(17)

(17)

Перенос начала в точку

В случае получим уравнение параболы:

Случай 3.

Параллельный перенос в точку преобразует уравнение:

а) две

действительные параллельные прямые.

б) две мнимые параллельные прямые.

в) 2 совпавшие прямые.

Вывод: уравнение (11) определяет одну из 9-ти линий:

1) эллипс,

2) гипербола,

3) парабола,

4) мнимый эллипс,

5) пара пересекающихся прямых,

6) пара параллельных прямых,

7) пара совпавших прямых,

8) пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке,

9) пара мнимых параллельных прямых.