Различные уравнения плоскости

20 21 22 23 24 25 26

Плоскость

Раздел 3. Система координат в пространстве

1.1.1.Параметрические уравнения плоскости.

Положение плоскости в пространстве

определим заданием

точки и двух неколлинеарных

векторов которым плоскость

параллельна:

Если точка то векторы компланарны. Тогда

(1)

Если на плоскости взять аффинную систему координат то - координаты точки

Пусть

Из соотношения (1) имеем:

(2)

Из (1) следует (2), и наоборот.

Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями плоскости.

1.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

Зададим в аффинной системе 3 неколлинеарные точки Они определяют единственную плоскость Для произвольной точки плоскости выполняется условие то есть

(3)

1.1.3. Уравнение плоскости «в отрезках»

Возьмем, в частности, в качестве точек точки пересечения плоскости с осями координат

Уравнение (3) принимает вид:

уравнение «в отрезках» (4)

1.1.4..Общее уравнение плоскости.

Зададим плоскость точкой и двумя неколлинеарными векторами: Если произвольная точка плоскости, то векторы

компланарны

где

(5)

где

Очевидно, в дпск вектор

Как видно, в аффинной системе координат плоскость определяется уравнением 1-ой степени относительно трех переменных. Справедливо и обратное утверждение: при уравнение первой степени относительно 3-х переменных в аффинной системе координат определяет плоскость.

1.1.5.Условие параллельности вектора и плоскости.

Теорема. Для того, чтобы в аффинной системе координат вектор

был параллелен плоскости

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(6)

∆ 1. Пусть Если точка и то точка то есть справедливы равенства:

Вычитая из второго третье, получим:

2. Если выполнено условие (6) и точка то, если

, из

▲

1.1.6. Неполные уравнения плоскости. Построение плоскости по

уравнению.

Уравнение где ни один из коэффициентов не равен 0, называется полным. Для построения плоскости его лучше записать «в отрезках»:

Пример. Постройте плоскость

Обратимся к неполным уравнениям, заданным в аффинной системе координат

Пример. Постройте плоскость

2. Вектор параллелен плоскости если и проходит через ось

если

Пример. Постройте плоскость

3. если и проходит через ось если

Пример. Постройте плоскость

4. Если то плоскость параллельна оси и проходит через эту ось, если

5. Плоскость параллельна плоскости

6. Плоскость параллельна плоскости

7. Плоскость параллельна плоскости

8. Плоскость Это координатная плоскость

9. Это плоскость

10. Это плоскость

1.1.7. Геометрический смысл знака многочлена

Пусть в аффинной системе координат задана плоскость Координаты точек, принадлежащих этой плоскости обращают это уравнение в верное тождество. Плоскость делит пространство на два подпространства. Можно доказать, что для координат точек одного подпространства Значение многочлена есть положительное число (именно для того подпространства, где находится вектор ), а для точек другого подпространства – отрицательное.