Теория массового обслуживания

Называется также теорией очередей и используется для решения задач оптимизации обслуживания. Рассматривает вероятные модели реальных систем обслуживания. Она используется для минимизации издержек в сфере обслуживания, в производстве, в торговле.

Теория массового обслуживания позволяет определить явные и неявные потери предприятия (общества в целом) при возникновении очередей.

Пример явных потерь – потери рабочего времени основного персонала при возникновении очереди на обслуживании (на проходной предприятия, при обеспечении необходимым инвентарем и т.д.). Расчет явных потерь имеет практическое значение в тех случаях, когда предприятие заинтересовано в увеличении объема продукции. Для определения таких потерь необходимо иметь информацию о значении следующих факторов:

- «цена» минуты рабочего времени основного персонала;

- потери рабочего времени в минутах;

- затраты на привлечение дополнительных работников обслуживания.

Определить цену единицы рабочего времени можно, зная трудоемкость единицы продукции и ее стоимость. Затраты на привлечение дополнительного персонала также несложно определить, представив их как сумму заработной платы работника. Сложнее определить средние потери рабочего времени в ожидании обслуживания. Для решения этой задачи необходимы хронометражные замеры о потоке требований на обслуживание в единицу времени.

Неявные потери состоят в «потерянных клиентах» при обслуживании, например, телефонистками. При этом предполагается, что при возникновении очереди клиент отказывается от обслуживания. При определении неявных потерь рассчитывается упущенная выгода – если известна так называемая «вероятность отказов», можно определить, какую сумму прибыли предприятие могло бы получить дополнительно, если увеличить количество обслуживающего персонала.

Существуют несколько моделей очередей в системах обслуживания. Широко применима простейшая из них одноканальная пуассоновская система с пуассоновским входящим потоком и бесконечным источником требований. В этой модели учитываются:

- средняя частота поступления требований, которая может быть получена по данным хронометража – А;

- средняя пропускная способность канала обслуживания, которая определяется как величина, обратная времени обслуживания – S.

Указанная модель включает в себя следующие характеристики и уравнения:

1. Коэффициент использования системы: A/S.

2. Среднее число клиентов в системе: A / (S-A).

3. Среднее число клиентов, ожидающих в очереди: A² / [S*(S-A)].

4. Среднее время нахождения клиента в системе: 1 / (S-A).

5. Среднее время стояния в очереди: A / [S*(S-A)].

6. Удельный вес простоев: 1 – A / S.

Пример. Допустим, что в магазин, в котором работает один продавец, заходит в среднем по 18 покупателей в час. Время обслуживания одного покупателя составляет 2 минуты. Исходя из этого:

А = 18 S = 60/3 = 20.

Среднее количество покупателей в очереди = 324/ (20*(20-18))= 8,1.

Среднее время пребывания в очереди = 18/(20*(20-18)) = 0,45 часа.

Если увеличить количество продавцов, то изменится пропускная способность (S = 40) и соответственно изменятся остальные параметры:

Среднее количество покупателей в очереди = 324/ (40*(40-18))= 0,36.

Среднее время пребывания в очереди = 18/(40*(40-18)) = 0,02 часа.

Предположим, что каждый покупатель приносит магазину прибыль в сумме 10 р. Если магазин работает 12 часов ежедневно, то сумму дополнительной прибыли за месяц можно рассчитать:

Прибыль = 10 * 8 * 12 * 30 = 28800 р.

После проведения расчетов необходимо сделать вывод, насколько целесообразно увеличивать количество обслуживающего персонала.

Вопросы для обсуждения:

1. Приведите примеры систем массового обслуживания.

2. Верно ли утверждение, что определение потерь от очереди актуально только в условиях рыночной экономики? Почему?

Задачи и ситуации:

1. На автомобильную заправку приезжает в среднем 27 машин в час. На заправке имеется три пункта обслуживания. Средне время обслуживания автомобиля составляет 5 минут. Определите среднее число машин в очереди и среднее время пребывания автомобиля на заправке.

2. В службу такси, которая имеет в своем распоряжении 15 машин, поступает в среднем 30 заказов в час. Среднее время обслуживания одного клиента – 25 минут. Рассчитайте параметры использования системы. Если допустить, что клиенты не согласны ожидать в очереди, какова упущенная выгода службы такси при условии, что минимальная стоимость поездки – 70 рублей, в том числе чистая прибыль – 20 рублей? На сколько нужно увеличить количество машин, чтобы не возникало очереди?