Потоки заявок и их модели

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей) электронной вычислительной машины; поток выстрелов, направляемых на цель при обстреле и т. п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но здесь мы будем рассматривать только поток однородных событий, различающихся лишь моментами появления.

Вводим параметр t - время между двумя соседними заявками и этот параметр характеризуется законом распределение и числовыми характеристиками.

t ~ f (t), m (t), D (t)

Далее зафиксируем на временной оси некоторый промежуток времени t и отметим что на этом промежутке будет появляться определенное число заявок. Это число заявок является целочисленных случайной величиной, которая характеризуется рядом распределения или аналитическим выражением

Модели потока заявок:

Регулярный поток - время между двумя соседними заявками постоянно и одинаково.

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых не перекрываются участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий очень мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток событий имеет все тремя свойствами (стационарнисть, ординарности и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1-3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будут распределены по закону Пуассона.

Рассмотрим подробнее условия 1-3, посмотрим, чего они соответствуют для потока заявок и за счет чего они могут нарушаться.

1. Условием стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число заявок в единицу времени). На практике часто встречаются потоки заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не может считаться стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем). Заметим, что так же и со всеми физическими процессами, которые мы называем «стационарными»: на самом деле все они стационарные лишь на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности - лишь удобный прием, который применяется с целью упрощения анализа. Во многих задачах теории массового обслуживания представляет интерес проанализировать работу системы при постоянных условиях; тогда задача решается для стационарного потока заявок.

2. Условие отсутствия последействия - наиболее существенное для простейшего потока - означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия том, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а не иной момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия последействия может быть легко нарушено за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих станциюметро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.

Последействие, свойственное выходного потока, необходимо учитывать, если этот поток является входным для любой другой системы массового обслуживания (так называемое «многофазовый обслуживания», когда одна и та же заявка последовательно переходит из системы в систему).
Отметим, между прочим, что самый на первый взгляд регулярный поток, в котором события отделены друг от друга равными интервалами, отнюдь не является «простых» в нашем смысле слова, так как в нем есть ярко выраженное последействие: моменты появления следующих друг за другом событий связаны жесткой, функциональной зависимостью. Именно из-за наличия последействия анализ процессов, протекающих в системе массового обслуживания при регулярном потоке заявок, гораздо сложнее, чем при простом.

3. Условие ординарности означает, что заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. Д Например, поток атак, которому подвергается воздушная цель в зоне действия истребительной авиации, будет ординарным, если истребители атакуют цель в одиночку, и не будет ординарным, если истребители идут в атаку парами. Поток клиентов, входящих в парикмахерскую, может считаться практически ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака.
Если в неординарном потоке заявки поступают только парами, только тройками и т. Д, то неординарный поток легко свести к простом; для этого достаточно вместо потока отдельных заявок рассмотреть поток пар, троек и т. д. Сложнее будет, если каждая заявка случайным образом может оказаться двойной, тройной и т. д. Тогда уже приходится иметь дело с потоком не является однородным, а разнородных событий.
В дальнейшем мы для простоты ограничимся рассмотрением ординарных потоков.

Простейший поток играет среди потоков событий вообще особую роль, в некоторой степени аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения. Мы знаем, что при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законам распределения, получается величина, приближенно распределена по нормальному закону. Аналогично можно доказать, что при суммировании (взаимное наложение) большого количества ординарных, стационарных потоков с практически любой последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Условия, которые должны для этого соблюдать, аналогичные условиям центральной предельной теоремы, а именно - состоящие потоки должны оказывать на сумму примерно равномерно малое влияние.

Числовые характеристики потока заявок:

1. интенсивность - это математическое ожидание числа заявок в единицу времени.

2. Параметры потока - вероятность появления хотя бы одной заявки за промежуток времени.

Простейший поток играет в теории массового обслуживания особо важную роль. Во-первых, простые и близкие к простым потоки заявок часто встречаются на практике (причины этого изложены выше). Во-вторых, даже при потоке заявок, отличается от простого, часто можно получить удовлетворительные по точности результаты, заменив поток любой структуры простейшим с той же плотностью. Поэтому займемся подробнее простым потоком и его свойствами.