Тип 4. Линейные уравнения

Уравнение , линейное относительно неизвестной функции у и ее производной , называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Функции a(x), b(x) должны быть непрерывны в некоторой области.

Если b(x) = 0. то уравнение называют однородным линейным дифференциальным уравнением.

Общее решение линейного дифференциального уравнения всегда можно записать в виде:

, где с – произвольная постоянная.

Полезно иметь в виду, что иногда дифференциальное уравнение является линейным относительно х как функции у, т.е. может быть приведено к виду

Его общее решение находится по формуле:

, где с – произвольная постоянная.

Алгоритм решения:

1 способ.

Найти решение дифференциального уравнения по формуле .

2 способ.

Ввести 2 неизвестные функции u(x) и v(x) по формуле y=u(x)v(x) (подстановка Бернулли). Тогда . Подставив выражение для y и в уравнение получим уравнение , которое преобразуется к виду Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций, например , может быть выбрана достаточно произвольно (так как только произведение должно удовлетворять исходному уравнению), составляем систему: . Из первого уравнения (уравнение с разделяющимися переменными) находим v=v(x), затем из второго уравнения находим u=u(x,C). Затем находим общее решение уравнения y= v(x)◦ u(x,C).