Дифференциальные уравнения второго порядка. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение виданазывается дифференциальным уравнением второго порядка..

Общее решение уравнения зависит от двух неопределенных постоянных и и записывается в форме . Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка решается при начальных условиях:

.

Если дифференциальное уравнение второго порядка не содержит какой-либо из величин или , то оно называется неполным.

Алгоритм решения.

Преобразовать в дифференциальное уравнение первого порядка путем введения новой переменной .

Пример. - неполное дифференциальное уравнение второго порядка.

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: -задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка.

Уравнение вида , (1)

называют однородным уравнением.

Однородное уравнение обладает тем свойством, что, если и являются его частными решениями, то выражение (2) также будет решением данного уравнения при произвольных значениях постоянных и .

Уравнение вида (3) называется однородным уравнением с постоянными коэффициентами

Алгоритм решения.

1. Составляем характеристическое уравнение .

2. Решая квадратное уравнение, будем иметь

. (4)

Возможны варианты решения:

1. .

В этом случае выражение (4) определяет два различных значения и . Общее решение уравнения запишем в виде:

. (5)

2. .

Теперь квадратное уравнение имеет только один корень .

Общее решение однородного уравнения запишется в форме

. (6)

3. .

Квадратное уравнение имеет комплексные корни и .

Общее решение однородного уравнения будет

. (7)

Примеры. , , однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Замечание. Задача Коши для однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда имеет единственное решение.