Тема 8. Управление рисками на основе диверсификации

В условиях риска при сравнении различных стратегий поведения на рынке необходимо учитывать возможность участия ЛПР сразу в нескольких предложениях. При этом ЛПР может распределить свой капитал, составив портфель инвестиций с определенными долями участия в рассматриваемых предложениях. Распределение участия (своих ресурсов, например, капитала) в различных предложениях для достижения поставленной ЛПР цели - называют диверсификацией. Цель, в зависимости от отношения ЛПР к риску может быть сформулирована по-разному. Например, целью может быть:

1) наибольшее снижение риска портфеля;

2) максимизация возможной прибыли при заданном ограничении на риск;

3) в общем случае - нахождение наиболее приемлемого для ЛПР баланса для ожидаемых доходов и возможных потерь в формате портфеля инвестиций.

Предположим, ЛПР имеет возможность участвовать в двух предложениях А₁ с параметрами (m₁, σ₁) и А₂ с параметрами (m₂, σ₂). При этом, если ЛПР участвует в первом предложении с долей α (при 0≤ α ≤1), тогда, соответственно, во втором – с долей 1-α.. Таким образом, портфель инвестиций определяется вектором участия (α;1-α). При этом вектор участия (1;0) означает вложение всего капитала только в первое предложение, (0;1) – только во второе, (0,5;0,5) – участие в обоих предложениях с равными долями и т.д. Анализируемый портфель характеризуется общими параметрами (m_w,σ_w), причем при заданных долях участия (α;1-α) математическое ожидание всего портфеля инвестиций составит:

m_w = α ·m₁+ (1-α) ·m₂ = α ·(m₁- m₂)+ m_{2 .}

Для определения риска, то есть среднеквадратического отклонения (σ_w) рассматриваемого портфеля необходимо знать коэффициент корреляционной связи (r) между предложениями. Из теории вероятности известно, что такой коэффициент может принимать значения -1≤r≤1 и характеризует направленность изменений конечных результатов рассматриваемых предложений следующим образом:

· при -1≤ r < 0 имеет место разнонаправленность конечных результатов предложений: при увеличении дохода одного наблюдается уменьшение доход другого, и наоборот, при уменьшении дохода одного – увеличение дохода другого;

· при 0 ≤ r < 1 имеет место однонаправленность конечных результатов предложений: при увеличении дохода одного происходит также и увеличение дохода другого, и соответственно, при уменьшении дохода одного – увеличение другого;

· при r = 0 корреляционной связи между предложениями нет.

В общем случае, в соответствии с положениями теории вероятности среднеквадратическое отклонение портфеля имеет вид:

σ_w²= α² ∙ σ₁²+ (1- α) ² ∙σ₂²+2∙ρ∙ α ∙ σ₁ ∙(1- α) ∙ σ_2.

В случае совершенной отрицательной корреляционной связи (r = -1) среднеквадратическое отклонение портфеля составит:

σ_w²= α² ∙ σ₁²+ (1- α) ² ∙σ₂²-2∙α ∙ σ₁ ∙(1- α) ∙ σ₂ = (α ∙ σ₁- (1- α) ∙ σ₂)²,

соответственно, σ_w = | α ∙ σ₁- (1- α) ∙ σ₂| =| α ∙ (σ₁+σ₂) - σ₂|.

Зная параметры портфеля инвестиций (m_w,σ_w) и функцию выбора, характеризующую отношение ЛПР к риску:

m_w = α ·(m₁- m₂)+ m_2,

σ_w = | α ∙ (σ₁+σ₂) - σ₂|,

f(m_w, σ_w), 0≤ α ≤1

можно найти такое значение α^*, при котором заданная функция выбора будет максимальной, то есть сформировать такой портфель (α^*;1-α^*) участия в рассматриваемых предложениях, который обеспечит оптимальное с точки зрения ЛПР сочетание доходов и потерь.

В частности, при осторожном отношении к риску нужно будет найти такое α^* при котором:

f_s(m_w, σ_w) = m_w – k_s·σ_w² ®max =>

=> α^* ·(m₁- m₂)+ m₂ – k_s· |(α ^*∙ (σ₁+σ₂) - σ₂)² ®max при 0≤ α^* ≤1

Аналогично, в случае совершенной положительной корреляционной связи (r = 1) среднеквадратическое отклонение портфеля составит:

σ_w²= α² ∙ σ₁²+ (1- α) ² ∙σ₂²+2∙α ∙ σ₁ ∙(1- α) ∙ σ₂ = (α ∙ σ₁+(1- α) ∙ σ₂)²,

σ_w = | α ∙ σ₁+(1- α) ∙ σ₂| =| α ∙ (σ₁-σ₂) + σ₂|,.

При этом также достаточно найти такое α^*, при котором:

f(m_w, σ_w) ®max,

где m_w = α^* ·(m₁- m₂)+ m_2,

σ_w = | α^* ∙ (σ₁-σ₂) + σ₂|,

0≤ α^* ≤1

В случае нулевой корреляционной связи риск портфеля составит:

σ_w²= α² ∙ σ₁²+ (1- α) ² ∙σ₂²

При этом аналогично потребуется находить наиболее приемлемый для ЛПР портфель инвестиций с учетом его отношения к риску.

Пример 1. Требуется для предложений А₁(60,70) и А₂(50,30) найти оптимальный для ЛПР портфель инвестиций, если известно, что имеет место совершенная отрицательная связь между ними (r = -1) и отношение к риску ЛПР выразил как осторожное при k_s = 0,001.

Имеем соответствующие параметры (m_w,σ_w) искомого портфеля инвестиций:

m_w = α ·(m₁- m₂)+ m₂= α(60-50) +50 = 50+10α;

σ_w² = (α ∙ (σ₁+σ₂) - σ₂)² = (α(70+ 30)-30)² = (100α - 30)²

Зная функцию выбора f_s(m_w,σ_w) = m_w – 0,001·σ_w² найдем интересующее нас значение α^*:

m_w – 0,001·σ_w² ®max при 0≤ α^* ≤1 =>

= >50+10α^*- 0,001(100α^* - 30)² ®max при 0≤ α^* ≤1 =>

=> -10 (α^*)² +16α^*+49,1 ®max при 0≤ α^* ≤1 =>

=> f_s^/(α^*)=0 => -20α^* +16 = 0 => α^* =0,8

Таким образом, оптимальный для данного ЛПР портфель составит (0,8;0,2).

Пример 2. В условиях примера 1 найти безрисковый портфель для любого ЛПР.

Безрисковый портфель имеет σ_w = 0. Зная, что σ_w² = (100α₀ - 30)², решим уравнение:

(100α ₀- 30)² = 0 при 0≤ α ₀ ≤1 => α ₀ = 0,3

Таким образом, безрисковый портфель для любого ЛПР в этих условиях составит (0,3;0,7).