double arrow

Непрерывность функции


4.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Функция определена в точке х0 (т.е. существует f(x0));

2. Имеет конечный предел функции при хх0;

3. Этот предел равен значению функции в точке х0, т.е.

f(x) = f(x0) .

Определение 2. Функция у = f(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

.

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной.

Точка разрыва является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при хх0, не равные друг другу.

Точка разрыва является точкой разрыва второго рода, если xотя бы один из односторонниx пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции f(х) и φ(х) непрерывны в точке х0, то иx сумма, произведение и частное (при условии φ(х0) ≠ 0), являются функциями, непрерывными в точке х0.

2. Если функция y = f(х) непрерывна в точке х0 и f(х0) > 0, то существует такая окрестность точки х0, в которой f(x) > 0.




3. Если функция y = f(u) непрерывна в точке u0, а функция u = φ(x) непрерывна в точке u0 = φ(x0), то сложная функция y = f φ(x)непрерывна в точке х0.

Свойство 3 может быть записано в виде

f φ(x)= f f φ(x),

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке а, b, то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке а, b, то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.

3. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке а, bи значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка ξ є (а, b) такая, что f(ξ) = 0.







Сейчас читают про: