double arrow

Второй замечательный предел. Признаки существования предела


Признаки существования предела

Теорема 1. Если числовая последовательность {аn} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки х0 (или при достаточно больших значениях х) функция f(x) заключена между двумя функциями φ(x) и ψ(x), имеющими одинаковый предел А при xx0, (или x), то функция f(x) имеет тот же предел А.

φ(x) = А, ψ(x) = А.

Рассмотрим числовую последовательность аn = . Если вычислять значения членов последовательности, то получим а1 = 2,0, a2 = 2, 25, a3 = 2, 37, a4 = 2, 441, a5 = 2, 448, …… и можно предположить, что последовательность {аn} является возрастающей. Действительно, воспользуемся формулой бинома Ньютона:

или

С ростом n увеличивается как число положительных слагаемых (их в формуле n + 1), так и величина каждого слагаемого, т.е. а1 < а2 <…..< аn <…..

Последовательность {аn}является ограниченной.

Определение. Число е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности

е = .

Выше мы фактически установили, что 2 < е < 3. Более точно e ≈ 2,718281…, т.е. число е - иррациональное число.

Можно показать, что функция при х → +∞ и при х → -∞ (где х в отличие от натурального числа n "пробегает" все значения числовой оси - не только целые) имеет предел, равный числе е:




е = .

Полагая , найдем ; при х → ∞ у → 0.

В результате получается еще одна запись числа е:

.







Сейчас читают про: