Признаки существования предела

Основные теоремы о пределаx

3.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

Теорема. Если функция α(x) есть бесконечно малая величина при x → x₀ (x → ∞), то функция f (x) = является бесконечно большой при x → x₀ (x → ∞), и наоборот.

Пусть f (х) и φ(х) - функции, для которых существуют пределы при x → x₀ (или при x → ∞ ): f (x) = А, φ(x) = В.

Основные теоремы о пределах:

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

f (x)+ φ(x)= А + В.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

f (x)φ(x)= АВ.

4. Предел частного двух функций равен частному пределу этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.

= (В ≠ 0 ).

5. Если f (u) = А, φ(x) = u₀, то предел сложной функции

f φ(x)= А.

6. Если в некоторой окрестности точки x₀ (или при достаточно больших х) f (x) <φ(x), то

f (x) φ(x).