double arrow

Определение производной


2.

1.

1. Задача о касательной.Путь на плоскости Оxy дана непрерывная кривая y = f(x) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке М0 (х0, у0).

Решение: Дадим аргументу х0 приращение Δx и перейдем на кривой у = f(х) от точки М0 (х0; f(х0)) к точке М1 (x0 + Δx; f(х0 + Δх)). Проведём секущую М0; М1.

Под касательной к кривой y = f(x) в точке М0 естественно понимать предельное положение секущей М0 М1 при приближении точки М1 к точке М0, т.е. при Δx0.

F(x0x) M

F(x0) M0

       
   
 
 
   
 


α φ

х0 х0 + Δх

Уравнение прямой, проходящей через точку М0, в соответствии имеет вид

y - f(х0) = k(х - х0).

Угловой коэффициент (или тангенс угла φ наклона) секущей kM1M0 может быть найден из ΔМ0М1N : kМ0M1 = tg φ = . Тогда угловой коэффициент касательной

k = = .

2. Задача о скорости движения.Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону S = S(t), где S - пройденный путь, t - время, и необходимо найти скорость точки в момент t0.

К моменту времени t0 пройденный путь составит S0 = S(t0), а к моменту (t0t) - путь S0 + ΔS = S(t0 + Δt).

ΔS

S(t)

t0 t0 + Δt

Δt

Тогда за промежуток Δt средняя скорость будет vср = . Чем меньше Δt, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0, Поэтому под скоростью точки в момент t0 естественно понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до t0 + Δt, когда Δt 0, т.е.




v = vср = .







Сейчас читают про: