Метод замены переменной

2.

1.

Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5, называется методом разложения.

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

∫ f(x) dx = ∫ f ( φ (t)) φ '(t) dt,

где x = φ(t) – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z=g(x) имеет на [a,b] непрерывную производную и a £ g(x) £b, то

ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(z) dz,

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(g(x)) dg(x).

Например:

1) ;

2).