Геометрический смысл интегральной суммы

1.

Формула Ньютона-Лейбница.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Т.1.8. Определенный интеграл. Методы интегрирования определенных интегралов, 4ч.

3.

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

ò udv = uv - ò vdu.

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти ò x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

ò x cos x dx = ò x d(sin x) = x sin x - ò sin x dx = x sin x + cos x + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

ò x^k ln^mx dx, ò x^k sin bx dx, ò x^k cos bx dx, ò x^k e ^ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

С.Р. 1.Интегрирование тригонометрических функций.

2. Метод неопределенных коэффициентов.

План

2.Свойства определённого интеграла.

4.Методы интегрирования.

Пусть функция у = f(х) неотрицательная на . Отдельное слагаемое f (ξ _i)Δ x_i интегральной суммы в этом случае равно площади S_i прямоугольника со сторонами f (ξ _i)и Δ x_i, где i - 1, 2, …., n. Другими словами, S_i - это площадь под прямой у = f (ξ _i) на отрезке . Поэтому вся интегральная сумма равна площади S_Л = S₁ + S₂ +… + S_n под ломаной, образованной на каждом из отрезков прямой у = f(ξ_i), параллельной оси абсцисс.

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении Δ x_i к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х₁, х₂, …..и точек ξ₁, ξ₂, …… Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y = f(x) на , обозначается , а сама функция у = f(х) называется интегрируемой на отрезке , т.е.

= .

При этом число а называется нижним пределом, число b - его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным

выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции f(x) на отрезке .

Геометрический смысл определённого интеграла.

Понятие определённого интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке , где a < b, численно равен площади S под кривой y = f(x) на .