2014-02-09
569
2.
Свойства определённого интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,
,
где а - некоторое число.
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
.
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c.
+ 
.
4. Если на отрезке 
, где a < b, f(x) ≤ g(x), то и
,
т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
5. Теорема о среднем. Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке , (где a < b), то найдется такое значение ξє , что
.
Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке , то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке 
, вложенном в .
Положим по определению
,
где х є , а функция Ф(x) называется интегралом с переменным верxним пределом.
Свойства функции Ф(x)
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то функция Ф (x) также непрерывна на .
Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке х отрезка производная функции Ф (x) по переменному верxнему пределу равна подынтегральной функции f(x), т.е.
.
