Примеры на вычисление интегралов

Пример 1. Вычислить ò dx/(x+2).

Решение. Обозначим t=x+2, тогда dx=dt, ò dx/(x+2) = ò dt/t = lnïtï+C =
= lnïx+2ï+C.

Пример 2. Найти ò tg x dx.

Решение. ò tg x dx = ò sin x/cos x dx = - ò d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда ò tg x dx = - ò dt/t = - lnïtï+C = - lnïcos xï+C.

Пример 3.. Найти ò dx/sin x.

Решение.

Пример 4. Найти .

Решение. =

Пример 5. Найти ò arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x²+1), v=x, откуда ò arctg x dx = x arctg x - ò x dx/(x²+1) = x arctg x + 1/2 ln(x²+1) +C; так как
ò x dx/(x²+1) = 1/2 ò d(x²+1)/(x²+1) = 1/2 ln(x²+1) +C.

Пример 6. Вычислить ò ln x dx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда ò ln x dx = x lnx - ò x 1/x dx =
= x lnx - ò dx = x lnx - x + C.

Пример 7. Вычислить ò e^xsin x dx.

Решение. Обозначим u = e^x, dv = sin x dx, тогда du = e^xdx, v=ò sin x dx= - cos x Þ ò e^xsin x dx = - e^x cos x + ò e^xcos x dx. Интеграл ò e^xcos x dx также интегрируем по частям: u = e^x, dv = cos x dx Þ du=e^xdx, v=sin x. Имеем: ò e^xcos x dx = e^x sin x - ò e^xsin x dx. Получили соотношение ò e^xsin x dx = - e^xcos x + e^xsin x - ò e^xsin x dx, откуда 2 ò e^xsin x dx = - e^xcos x + e^xsin x + С.

Пример 8. Вычислить J = ò cos(ln x)dx/x.

Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J= ò cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x через t, приходим к табличному интегралу J = ò cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.

Пример. 9. Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = .

Пример 10. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =
=
=.

Пример 11. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, = .

Но подынтегральная функция f(x) = > 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) = имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.