Типы дифференциальных уравнений -го порядка, разрешаемые в квадратурах

1. Уравнение вида

(6)

легко интегрируется в квадратурах. В самом деле, из этого уравнения последовательным интегрированием получаем:

и, наконец,

. (7)

Формула (7) дает общее решение уравнения (6). При этом из промежуточных формул очевидно, что формула (7) представляет собой решение такой задачи Коши: найти решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным данным: при . Следовательно, первое слагаемое правой части в формуле (7)

(8)

представляет собой частное решение уравнения (6), которое вместе со своими производными до -го порядка обращается в нуль при .

Это выражение (8), содержащее -кратную квадратуру по , может быть преобразовано к такому виду, где содержится только одна квадратура по параметру.

Начнем со случая . Обозначая для большей ясности переменные интегрирования в двух интегралах разными буквами, имеем . Рассматривая правую часть последнего выражения как двойной интеграл в плоскости , мы видим, что он распространен на площадь заштрихованного треугольника. Мы можем изменить порядок интегрирования, взяв пределы по от до , а по — от до (формула Дирихле); тогда получим .

Рассмотрим далее случай : . Так же, как и раньше, два внутренних интегрирования мы можем заменить одним по параметру , т.е. написать . Интегрирование опять распространяется на тот же треугольник плоскости . Меняя порядок интегрирования и изменяя пределы, находим

.

Переходим к любому ; допустим, что для справедлива формула

.

Тогда получаем:

т.е. та же формула справедлива для . Итак, окончательно имеем для всякого натурального :

— (8.1)

формула Коши (сведения -кратного интеграла к интегралу, содержащему одно интегрирование). Формула (8.1) представляет собой решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям при . Дифференцированием можно убедиться в справедливости обоих этих утверждений.

Пример. ; начальные значения — любые числа. Тогда , где .

Интегрируя по частям, находим:

Мы получили, таким образом, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при . Чтобы получить искомое общее решение, связанное с задачей Коши, мы должны прибавить квадратный трехчлен относительно . Получим

.

Если мы просто желаем получить общее решение (содержащее три произвольные постоянные), то достаточно заметить, что в силу произвола выбора значений коэффициенты при и свободный член в последнем выражении являются совершенно произвольными, и мы можем написать искомое общее решение в виде , — произвольные постоянные.

Если дано уравнение вида

, (6.1)

то, разрешив его относительно , мы приведем его к виду (6), и все предыдущие рассуждения сохраняют силу. Но иногда удается разрешить это уравнение в элементарных функциях лишь относительно или, в более общем случае, выразить и как функции параметра . Тогда интегрирование уравнения (6.1) может быть тоже сведено к квадратурам, выраженным явно. Пусть параметрические уравнения, эквивалентные уравнению (6.1), выглядят как

. (6.2)

По определению, , или, в наших условиях, , откуда . Далее, и т.д. Здесь мы не пишем произвольных постоянных, включая их в знак неопределенного интеграла. Если написать их явно, то, например, в выражении для появится слагаемое ; в выражении для — слагаемые и или и т.д.

В результате получим . Если из этих двух соотношений исключить , получим общий интеграл уравнения (6.1).

Пример. . Здесь разрешение относительно в элементарных функциях невозможно. За параметр естественно взять , и мы получаем параметрические уравнения: . Отсюда , . Далее , ,

или .

Последняя формула вместе с выражением для , , дает параметрическое представление общего решения данного уравнения.

2. Уравнение вида

(9)

приводится к квадратурам при любом натуральном .

Предположим сначала, что уравнение (9) разрешено относительно :

. (9.1)

Вводим новую функцию ; уравнение (9.1) примет вид . Из этого уравнения получаем с помощью разделения переменных его общий интеграл . Допустим, что это соотношение разрешено относительно : . Заменяя его значением , получим уравнение -го порядка , которое мы только что рассмотрели в п.1. При его интегрировании появятся еще произвольных постоянных, и мы получим общее решение уравнения (9) в виде

.

Если уравнение (9) неразрешимо в элементарных функциях относительно , но мы имеем выражения и через параметр :

, (9.2)

то соотношение , или , дает нам , откуда получается квадратурой . Далее находим последовательно

и наконец ,

т.е. опять представление и в функциях параметра и произвольных постоянных , следовательно, общее решение.

Пример. . Согласно рассмотренной теории, полагая , получаем уравнение первого порядка , или , откуда . Дальше удобно интегрировать в параметрическом виде: . Отсюда находим: . Исключая параметр , получаем общий интеграл: , представляющий собой уравнение семейства всех окружностей радиуса на плоскости.

3. Уравнения вида

(10)

также интегрируются в квадратурах. Введение новой переменной приводит уравнение (10) к уравнению второго порядка

. (11)

Если уравнение (11) разрешено относительно , т.е. имеет вид

, (11.1)

то один из методов его интегрирования таков: умножив обе части на , получаем , или в дифференциалах , откуда . Последнее уравнение можно разрешить относительно производной и разделить переменные: , откуда находим общий интеграл уравнения (11.1): . Этот интеграл при обратной замене на получает вид , т.е. уравнение вида (6.1). Это уравнение мы уже умеем интегрировать, интегрируется оно в квадратурах, причем это интегрирование дает еще произвольных постоянных, и мы получим общее решение уравнения (10).

Если уравнение (10) дано в неразрешенном относительно виде, но известно его параметрическое представление

, (10.1)

то интегрирование выполняется следующим образом. Мы имеем два равенства: , связывающих две неизвестные функции от , а именно — и . Исключая делением , получаем дифференциальное уравнение для : , откуда квадратурой находим ; далее получим . Имея параметрическое представление и , мы свели задачу к типу (10.2), рассмотренному ранее. Дальнейшие квадратуры дадут новых произвольных постоянных.

Пример. . Полагая , приходим к уравнению . Умножим обе части на : , или . Интегрируя, находим , откуда . Второе интегрирование дает , или .

Чтобы разрешить последнее уравнение относительно , выгодно поступить следующим образом: делим единицу на обе части последнего равенства , в левой части освобождаемся от иррациональности в знаменателе, а затем умножаем обе части на . Получаем . Складывая это уравнение с исходным и деля на 2, получаем . Подставляя вместо его значение и интегрируя два раза, находим , где — произвольные постоянные.