Линейное однородное уравнение

Рассмотрим линейное уравнение без правой части:

. (3.1)

Через мы будем сокращенно обозначать результат применения к функции совокупности операций [дифференцирование, умножение на функции и сложение], указываемых левой частью уравнения (3.1), и будем называть линейным дифференциальным выражением или линейным дифференциальным оператором. Линейный оператор обладает следующими двумя важными свойствами:

1) , (6)

где — любые функции, имеющие непрерывных производных. В самом деле, раскрывая значения символа оператора, имеем

Оператор от суммы равен сумме операторов слагаемых. Это свойство доказано для суммы двух слагаемых, но оно, очевидно, распространяется на сумму любого числа слагаемых.

2) , (7)

где — любая раз дифференцируемая функция, а — постоянная, т.е. постоянный множитель можно вынести за знак линейного оператора. Доказательство легко проводится подобно предыдущему случаю. На основании свойств линейного оператора, выражаемых тождествами (6) и (7), получаются следующие теоремы о решениях однородного линейного уравнения.

Теорема 1. Если и есть два (частных) решения уравнения (3.1), то есть также решение этого уравнения.

Доказательство. Так как есть решения, то имеем тождества . Но, в силу (6), , что, в силу условия, равно нулю тождественно. Теорема доказана.

Теорема 2. Если есть решение уравнения (3.1), то есть также решение этого уравнения (— любая постоянная).

Доказательство. В силу свойства (7), , а по условию , откуда и следует теорема.

Следствие 1. Если имеем частные решения уравнения (3.1) , то выражение есть также решение этого уравнения (— любые постоянные).

Следствие 2. Если есть частные решения линейного однородного уравнения -го порядка, то выражение

(8)

есть решение, содержащее произвольных постоянных, т.е. общее решение.

Следует отметить, что всякое линейное однородное уравнение имеет частное решение . Это решение называется тривиальным. В теории интегрирования мы его учитывать не будем.

Вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять частные решения, чтобы выражение (8) являлось общим решением однородного уравнения, разрешается в связи с понятием линейной зависимости функций. Функции , определенные на интервале , называются линейно зависимыми на этом интервале, если существуют постоянные , не все равные нулю, такие, что для всех значений на рассматриваемом интервале выполняется тождественно соотношение

. (9)

Если не существует таких постоянных, чтобы равенство (9) имело место для всех рассматриваемых значений (не всех равных нулю), то функции называются линейно независимыми (на данном интервале). В последующем мы часто будем иметь дело с интервалом .

Рассмотрим один частный случай и несколько примеров.

1) Если одна из функций, например , равна на данном интервале нулю, то все функции линейно зависимы, так как мы имеем тождество , в котором можно взять .

2) Функции линейно независимы на интервале , а также

на любом конечном интервале. Допустив противное, мы получили бы равенство для всех рассматриваемых значений (не все равны нулю). Между тем написанное равенство есть алгебраическое уравнение степени не выше ; оно может быть справедливым не более как для значений .

3) Пусть — любые действительные не равные между собой числа, . Тогда функции, определенные для , линейно независимы. Допустим противное; пусть имеет место тождество для всех значений . Умножая предполагаемое тождество на , получим тождество . Замечая, что все показатели больше нуля, получим предельным переходом при , что необходимо . Поэтому тождество может иметь только такой вид: . Повторяя последовательно то же рассуждение, получим , т.е. противоречие с предположением, что не все равны нулю. Это противоречие доказывает наше утверждение. Такое же рассуждение можно было применить и к предыдущему примеру.

4) Примером линейно зависимой системы являются функции . Действительно, полагая получаем тождество для : .

Пусть мы имеем функций от , имеющих непрерывные производные до -го порядка: .

Определитель

(10)

называется определителем Вронского этих функций. Легко доказывается следующая теорема.

Теорема 3. Если функции линейно зависимы, то определитель Вронского тождественно равен нулю.

Пусть функции линейно зависимы, т.е. существует тождественное соотношение

, (11)

где не все равны нулю. Без ограничения общности мы можем допустить, что (иначе мы изменили бы нумерацию функций). Выражая из соотношения (11) , получаем тождество

, (11.1)

где . Из тождества (11.1) дифференцированием по получаем

(11.2)

Умножаем в выражении (10) первый столбец на , второй на , …, -й на и прибавляем к последнему. Величина определителя не изменится, но в силу соотношений (11.1) и (11.2) последний столбец нового определителя будет состоять из нулей, откуда следует, что , что и требовалось доказать.

Если есть частные решения однородного уравнения (3.1), то справедлива обратная, причем более сильная теорема.

Теорема 4. Если решения линейно независимы (на интервале (2)), то не обращается в нуль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Допустим противное. Пусть . Обозначим величины при через и значения через и составим систему уравнений

(12)

Рассматривая в уравнениях (12) величины как неизвестные, мы получим для определителя системы (12) значение . Следовательно, однородная система (12) из уравнений с неизвестными имеет систему решений , причем не все равны нулю. Составим функцию

. (8.1)

В силу следствия 1 теорем 1 и 2 она является решением уравнения (3.1). В силу условий (12), мы имеем при

. (12.1)

Начальные условия (12.1) по теореме существования определяют единственное решение уравнения (3.1). Но таким решением, очевидно, является тривиальное решение , следовательно, на интервале , и мы получаем из равенства (8.1) для любого на интервале (2), причем не все равны нулю, т.е. функции линейно зависимы вопреки предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теоремы 3 и 4 можно объединить в следующей формулировке: определитель Вронского, составленный для системы решений линейного уравнения -го порядка (3.1), или тождественно равен нулю, или не обращается в нуль ни в одной точке того интервала, где коэффициенты уравнения непрерывны.

Любая система из линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения (3.1) называется фундаментальной системой.

Следствие теоремы 4. Функции, образующие фундаментальную систему, линейно независимы во всяком частичном интервале , содержащемся в . Это следует из необращения в нуль определителя Вронского.

Теорема 5. Для всякого дифференциального уравнения существует фундаментальная система.

В самом деле, возьмем любую систему таких чисел (), такую, чтобы составленный из них определитель

(13)

был отличен от нуля. Определим частных решений уравнения (3.1) начальными условиями: при имеем . Функции определены на всем интервале (2).

Определитель (13) представляет собой значение определителя Вронского при . Таким образом, заведомо не равен нулю при , откуда, в силу теоремы 3, следует, что линейно независимы, т.е. образуют фундаментальную систему (вспомним, что не равен нулю ни для какого в интервале ).

Матрицу с определителем (13), отличным от нуля, часто бывает полезно выбрать по следующему закону: , когда , при . Очевидно, определитель (13) равен в этом случае единице. Соответствующую фундаментальную систему мы будем называть нормальной фундаментальной системой. Составляющие эту систему функции удовлетворяют таким начальным условиям: при

Теорема 6. Если образуют фундаментальную систему решений уравнения , то общее решение выражается формулой

. (8)

По определению, решение, содержащее произвольных постоянных, называется общим, если из него при определенных числовых значениях постоянных получается любое частное решение. А как было указано, в силу теоремы существования и единственности, любое частное решение однозначно определяется начальными условиями: при

, (14)

где — любые числа, и . Мы докажем, что решение (8) есть общее, если покажем, что можно в формуле (8) определить постоянные так, чтобы удовлетворялись условия (14). Для определения постоянных мы получаем систему линейных уравнений

(15)

Здесь обозначает значение функции при ; есть значение производной при . Определитель системы (15) есть определитель Вронского, в котором вместо подставлено , т.е. . В силу теоремы 4, . Следовательно, система уравнений (15) всегда допускает, и притом единственную, систему решений . Выражение (8), в котором имеют полученные таким образом значения, очевидно, удовлетворяет начальным условиям (14). Теорема доказана.

Если представляет собой нормальную фундаментальную систему, то решение, удовлетворяющее начальным условиям (14), получает простую форму . В справедливости этого утверждения можно убедиться, подставляя в него и в выражения, полученные из него последовательным дифференцированием, значение .

Пример 1. Уравнение имеет, как легко проверить, два частных решения: . Для выяснения вопроса об их линейной зависимости или независимости составляем определитель Вронского: . Следовательно, и составляют фундаментальную систему, и общее решение запишется . Составим теперь нормальную фундаментальную систему , удовлетворяющую начальным условиям . Очевидно, представляются как линейные комбинации функций и : . Для определения коэффициентов пользуемся начальными условиями решений : . Отсюда , . При помощи функций сразу запишем решение, удовлетворяющее условиям Коши: при . Это решение будет .

Мы видели, что формула (8) дает любое решение линейного однородного уравнения -го порядка, если функции линейно независимы. Отсюда получается доказательство такой теоремы.

Теорема 7. Если мы имеем частных решений уравнения (3.1) , то они являются линейно зависимыми.

Для доказательства рассмотрим первые функций: . Возможны два случая:

1) Функции линейно зависимы. Тогда теорема справедлива, так как линейное соотношение между функциями есть частный случай линейного соотношения между функциями, где постоянный множитель при равен нулю.

2) Функции линейно независимы. Тогда они образуют фундаментальную систему, через которую выражается линейным образом с постоянными коэффициентами любое частное решение. В частности, для получим . Это и есть искомая линейная зависимость. Теорема доказана.

Теорема 8. Если два линейных однородных уравнения

(16)

имеют общую фундаментальную систему решений, то они тождественны между собой, т.е. .

Докажем это. Вычитая почленно уравнения (16) получаем новое уравнение -го порядка:

. (17)

Если и не тождественно равны между собой, то найдется в силу их непрерывности интервал , в котором . Разделив обе части уравнения (17) на , мы получим на интервале уравнение вида (3.1), т.е. со старшим коэффициентом, равным 1. Очевидно по самому построению уравнения (17), что оно допускает те же решения, что и уравнения (16), т.е. уравнение -го порядка со старшим коэффициентом, равным 1, допускает (см. следствие теоремы 4) независимых интегралов. Противоречие с теоремой 7 показывает, что . Таким образом, уравнение (17) имеет вид . Рассуждение, подобно предыдущему, показывает, что , и далее таким же образом доказывается, что .

Следствие. Фундаментальная система вполне определяет линейное однородное уравнение со старшим коэффициентом, равным 1.

Решим теперь такую задачу. Дана фундаментальная система на интервале : . Требуется построить соответствующее дифференциальное уравнение. Для этой цели приравниваем нулю следующий определитель, в котором обозначает искомую функцию:

. (18)

Разлагая его по элементам последнего столбца, мы убеждаемся в том, что равенство (18) представляет собой однородное дифференциальное уравнение -го порядка относительно функции . При подстановке вместо функций , мы получаем определитель с двумя равными столбцами. Он тождественно равен нулю; следовательно, уравнение (18) допускает частные решения .

Коэффициент при есть . Он, как нам известно, не обращается в нуль на интервале . Разделив на него обе части уравнения (18), получим уравнение -го порядка со старшим коэффициентом, равным единице, а по доказанному такое уравнение однозначно определяется фундаментальной системой. Задача, таким образом, решена.

Запишем уравнение (18) в развернутом виде:

Если исходное уравнение было записано в виде

, (3.1)

то сравнение коэффициентов дает нам тождество

.

Легко убедиться в том, что определитель в числителе есть производная от определителя Вронского, стоящего в знаменателе. В самом деле, производная по определителя, составленного из функций от , равна сумме определителей, из которых у первого в первой строке функции заменены производными, а остальные не изменены; у второго во второй строке функции заменены производными, а остальные не изменены и т.д. У -го в последней строке функции заменены производными. Применяя это правило дифференцирования к определителю Вронского, мы получим первых слагаемых в виде определителей, имеющих две равные строки, т.е. обращающиеся в нуль, а последнее слагаемое, не равное нулю, есть как раз числитель в выражении для . Итак, мы имеем , откуда . Выражаем постоянную через начальное значение при ; получаем окончательно

. (19)

Равенство (19), определяющее определитель Вронского (с точностью до постоянного множителя) через коэффициент данного уравнения при носит название формулы Остроградского-Лиувилля (Лиувилля).

Применим формулу Остроградского-Лиувилля к нахождению общего решения уравнения второго порядка , у которого нам известно одно частное решение . Пусть есть любое решение этого уравнения, отличное от . Составляем и пишем его значение по формуле Остроградского-Лиувилля: . Получаем для линейное уравнение первого порядка. Раскрывая определитель, имеем . Деля обе части на , находим , откуда определяется квадратурой

. (20)

Полученное решение содержит две произвольные постоянные и, следовательно, является общим. Итак, если известно одно частное решение линейного однородного уравнения второго порядка, то общее решение находится квадратурами.

Пример 2. Легко убедиться в том, что уравнение допускает частное решение . В нашем случае , и формула (20) дает

Это — общее решение данного уравнения.

Примечание 1. Всякое линейное дифференциальное уравнение (3.1) имеет бесконечное множество фундаментальных систем.

Примечание 2. Пусть — любая система раз дифференцируемых линейно независимых функций. Если определитель Вронского не обращается в нуль на интервале , то выражение (18) дает дифференциальное уравнение, имеющее данную систему в качестве фундаментальной.

Примечание 3. Если составлять дифференциальное уравнение, допускающее в качестве фундаментальной системы наперед заданную систему из линейно независимых функций, то точки, в которых определитель Вронского этой системы обращается в нуль, будут особыми точками построенного уравнения; в них будет обращаться в нуль коэффициент при .

Пример 3. Построить уравнение, имеющее в качестве фундаментальной системы функции . Строим это уравнение по формуле (18): . Раскрывая определитель по элементам последнего столбца, получаем . Здесь и не обращается в нуль на интервалах и . Для этих интервалов имеем дифференциальное уравнение .

Зная одно нетривиальное частное решение линейного однородного уравнения (3.1), можно подстановкой понизить порядок уравнения, сохранив его линейность и однородность.

Действительно, подстановку можно заменить двумя подстановками:

(21)

и . Линейное однородное преобразование (21) сохраняет линейность и однородность уравнения, следовательно, уравнение (3.1) преобразуется при этом к виду

, (22)

причем решению уравнения (3.1) в силу (21) соответствует решение уравнения (22). Подставляя в уравнение (22), получим . Следовательно, уравнение (22) имеет вид , и подстановка понижает порядок на единицу: . Заметим, что та же подстановка , где — решение уравнения , снижает на единицу и порядок линейного неоднородного уравнения , так как эта подстановка не затрагивает правой части уравнения.

Зная линейно независимых на отрезке решений линейного однородного уравнения, можно понизить его порядок до на том же отрезке .

Действительно, понизив подстановкой на единицу порядок уравнения (3.1), получаем опять линейное однородное уравнение

(23)

порядка , причем нам известны его линейно независимых решений которые получим, подставляя в или последовательно . Заметим, что уже использованному нами для понижения порядка решению уравнения (3.1) соответствует тривиальное решение уравнения (23).

Решения линейно независимы, так как если бы между ними существовала линейная зависимость на отрезке : или

, (24)

где хотя бы одно , то, умножая на и интегрируя тождество (24) в пределах от до , где , а — точка отрезка , будем иметь

,

или, умножая на и обозначая , получим, вопреки исходному предположению, линейную зависимость между решениями : , где хотя бы одно . Итак, использовав одно частное решение , мы понизили порядок уравнения на единицу, сохранив его линейность и однородность, причем нам известно линейно независимых решений преобразованного уравнения. Следовательно, тем же методом можно снизить порядок еще на одну единицу. Использовав еще одно решение и продолжая этот процесс раз, получим линейное уравнение порядка.

Пример 4. . Это уравнение имеет очевидное частное решение . Понижая порядок подстановкой , , приведем исходное уравнение к виду , откуда .