Смешанного умножения векторов

Геометрические свойства

Смешанное произведение трех векторов

Нелинейные операции над векторами

Смешанным или скалярно-векторным произведением трех векторов, взятых в указанном порядке, называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго и третьего.

Обозначение: .

Таким образом, по определению

.

Смешанное произведение – это число!

Г1⁰. , , компланарны.

Пусть . Тогда .

По определению векторного произведения и .

Следовательно, векторы , , параллельны плоскости, перпендикулярной вектору (рис. 24),т.е. векторы , , компланарны.

Обратно, пусть векторы , и компланарны. Тогда существует плоскость , которой они параллельны.

, Þ , а так как ||, то Þ ,

т.е. .

Г2⁰ (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы , , некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему V параллелепипеда с ребрами , , , отложенными от одной точки; , если тройка , , - правая, , если тройка , , - левая.

Пусть векторы , , отложены от точки О (рис. 25).

. Пусть .

Построим на векторах , , параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами и (рис. 26).

Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пусть h – высота параллелепипеда.

а) Если тройка , , ориентирована так же, как базис , , , то (рис. 26, а) Þ < 90⁰ Þ cos>0 Þ Þ Þ.

Итак, .

б) Если тройка , , ориентирована противоположно базису , , , то (рис. 26, б) Þ > 90⁰ Þ Þ Þ.

Итак, .

Из пунктов а) и б) следует, что .