2014-02-09
448
Алгебраические свойства
А10. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е. 
V.
Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.
, V.
Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г20 к 
и к 
. Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах 
и 
, во втором – на векторах 
и ).
Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А10 векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:
.
А20. 
V 
.
Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:
; 
; 
.
Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
А30. 
;
;
.
Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
Замечание. Смешанное произведение 
.
, т.к. 
.
Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если 
, 
, 
в базисе 
, 
, 
, то 
.
.
