Экстремумы функций многих переменных

Пусть задана функция , где и пусть

Определение. Точка называется точкой локального максимума (минимума) для функции , если существует такое, что

Точки локального максимума или минимума называют точками экстремума.

Определение. Точка называется критической точкой функции если в этой точке все частные производные существуют и равны 0, то есть

Следствием известной теоремы Ферма для функции одной переменной является следующая теорема, которая устанавливает связь между критическими точками и экстремумами.

Теорема 1. Если точка является точкой экстремума функции и в этой точке у f существуют все частные производные, то точка - критическая для .

Данная теорема называется необходимым условием экстремума.

Отметим, что также, как и для функций одной переменной, необходимое условие не является достаточным для существования экстремума.

Например, очевидно, что точка является критической точкой для функции .

Однако, эта точка не является ни точкой локального максимума ни точкой локального минимума.

Задача. Доказать, что точка не является точкой экстремума функции

Указание. Для любого в функция принимает положительные и отрицательные значения.

Из теоремы 1 следует, что если в каждой точке существует , то экстремумы следует искать среди критических точек .

Сформулируем без доказательства достаточные условия экстремума функции двух переменных:

Теорема 2. Пусть все вторые частные производные функции непрерывны в , где и . Пусть является критической точкой для , то есть

Обозначим Тогда

1) если , то точка экстремума , причем при точка локального максимума, а при точка локального минимума.

2) если , то не является точкой экстремума.

Замечание. Из теорем 1, 2 следует такой план отыскания точек экстремума функций двух переменных , имеющей непрерывные частные производные второго порядка в

1) Найти критические точки .

2) В критических точках проверить достаточные условия экстремума, то есть условия теоремы 2.

Пример. Исследовать функцию на экстремумы.

Решение.

1) Найдем частные производные

Для отыскания критических точек составим систему

Решив систему, получим четыре критических точки

2)В точках проверим условия теоремы 2. Для этого найдем вторые частные производные:

В точке имеем

Поэтому А так как точка - точка локального минимума.

В точке имеем

Тогда и Поэтому точка локального максимума.

В точке находим В точке

также , поскольку Поэтому не являются точками экстремума.

Ответ: точка локального минимуму,

точка локального максимума.

Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка.

1. Постановка задачи. Основные понятия и теоремы

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение вида

F(x, y, y¢)= 0. (1)

Решением этого уравнения называется функция y=y(x), определенная и дифференцируемая на интервале X (конечном или бесконечном) такая, что

F(x, y(x), y¢(x))= 0 " xÎ X.

Решить уравнение - значит найти все его решения. Нахождение решений дифференциального уравнения называют интегрированием этого уравнения.

Определение 2. Уравнение у¢ = f (x, y) называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Теорема 1. (существования и единственности).

Если f (x, y) и f ¢_y (x, y) непрерывны в области D Í R², то для любой точки

(x₀,y₀)Î D существует единственное решение y =y (x) задачи

у¢ = f (x, y) (2)

у (x₀ ) = y₀, (3)

определенное на некотором интервале, содержащем x₀.

Замечание. Единственность означает, что любые два решения задачи

(2), (3) совпадают в некоторой окрестности точки x₀.

Определение 3. Задача (2) - (3) называется задачей Коши.

Определение 4. Пусть y = y₁ (x) и y = y₂ (x) ecть два решения задачи (2), (3),определенные на интервалах X₁ , X₂ соответственно таких, что

X₁ Ì X₂ и y₁ (x)= y₂ (x) " x Î X₁ .

Тогда решение y = y₂ (x) называется продолжением решения y = y₁ (x).

Определение 5. Решение, не имеющее продолжения, называется непродолжаемым.

Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1, то любое решение задачи (2), (3) продолжается до непродолжаемого единственным образом.

Определение 6. Интегральной кривой называется график непро-должаемого решения.