Касательная плоскость к поверхности

В качестве одного из приложений дифференциального исчисления функций многих переменных рассмотрим задачу о касательной плоскости к поверхности.

Теорема 1. Пусть поверхность является графиком функции и функция имеет непрерывные частные производные в , где и Тогда в точке существует касательная плоскость к поверхности , которая задается уравнением:

где

Теорема 2. Пусть поверхность задана уравнением и точка , то есть Пусть также имеет непрерывные частные производные в , где и Тогда в точке существует касательная плоскость к поверхности , которая задается уравнением

, где

Пример. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности

в точке

Решение.

Вычислим частные производные в точке

Тогда в соответствии с теоремой 2 находим

Уравнение касательной плоскости имеет вид

или .