Общее и частное решение

Рассмотрим пример простейшего дифференциального уравнения

y¢ = x² (4)

Решая его, получим y = ò x² dx = x³ /3 + C, где CÎ R - произвольная постоянная. Равенство

y=x³ /3 + C (5)

задает семейство функций с параметром C, которое является множеством всех решений уравнения (4).

Из (5) также следует, что интегральными кривыми уравнения (4) являются кубические параболы, полученные из параболы y = x³ cдвигом вдоль оси Oy.

Определение 1. Однопараметрическим семейством функций называется множество функций вида y = j (x,С). При этом С называется параметром данного семейства. Множество значений, которое может пробежать параметр С, будем называть множеством допустимых значений параметра С.

Определение 2. Пусть в области DÍ R² выполнены условия теоремы 1 (существования и единственности). Общим решением уравнения (2) в области D называется однопараметрическое семейство функций

y = j (x, С) (6)

такое, что

а) при любом фиксированном допустимом значении параметра С функция (6) является решением (2) и ее график лежит в D.

б) любое решение уравнения (2), график которого лежит в D, входит в семейство (6).

Замечание. Как правило, общее решение составляет все множество решений дифференциального уравнения за некоторым, быть может, исключением.

Определение 3. Решение, не входящее в общее решение, то есть не являющееся членом семейства (6) ни при каком С, называется особым решением.

Пример. Рассмотрим уравнение

y¢ = Ö 1- y²

Условия теоремы существования и единственности для него выполнены в области D = {(x, y) , -1< y < 1}. Общим решением этого уравнения является семейство синусоид

y = Sin (x + C),

определенных на интервале

(- С - p / 2, - C + p / 2).

(Это легко проверить подстановкой).

Кроме того, имеются два особых решения y º 1 и y º -1.

Заметим, что на прямых y = ± 1 нарушаются условия теоремы 1.

Определение 4. Если в общем решении (6) параметру С придать определенное значение С=С₀, то решение y = j (x, C₀ ) называется частным решением (1).

Определение 5. Равенство вида Ф(x, y, C) = 0, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Соотношение Ф(x, y, C₀ )= 0 называется частным интегралом. Линии, задаваемые общим интегралом, также называются интегральными кривыми.