Однородные уравнения

Уравнения с разделяющимися переменными

Геометрический смысл дифференциального уравнения

Если функция f (x,y) определена в области DÍ R², то уравнение

y¢ = f (x, y) (7)

задает в любой точке области D значение углового коэффициента касательной к проходящему через эту точку графику решения уравнения (7).

Зададим в каждой точке (x,y)Î D направление касательной с помощью отрезка, тангенс угла наклона которого к оси Ox равен f (x, y). Построенное множество отрезков называется полем направлений уравнения (1).

Геометрически решить уравнение (7) означает, что требуется найти кривую y = j (x), которая в любой своей точке касается отрезка из поля направлений.

Тема 3: Интегрирование некоторых классов уравнений 1-го порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

(1)

В дальнейшем будем предполагать, что функции и непрерывны в промежутках и соответственно.

Заметим, что правая часть уравнения (1) равна произведению функции, зависящей только от , на функцию, зависящую от .

Теорема 1. В области, где , общий интеграл уравнения (1) задается равенством

(2)

Замечание 1. Равенство (2) эквивалентно соотношению

(3)

с произвольной константой , где и есть первообразные функций и соответственно.

Замечание 2. Области где , есть прямоугольники (или в зависимости от , полосы или полуполосы), где либо соседние нули функции , либо граничные точки промежутка .

Из теоремы 1 следует такой план решения уравнения (1):

1) Решить алгебраическое уравнение

(4)

и получить частные решения уравнения (1)

(5)

где корни уравнения (4).

2) В областях, где , уравнение (1) преобразовать так:

, ‘разделить’ переменные:

(6)

и получить общий интеграл (2), а затем (3).

3) Записать в ответ:

а) либо общее решение, полученное из равенства (3), либо общий интеграл (3);

б) особые решения из семейства (5) (не входящие в (3)).

Замечание. Равенство (6) нужно рассматривать как равенство дифференциалов с функцией , являющейся решением уравнения (1).

Пример 1. Решить уравнение

(7)

Это уравнение с разделяющимися переменными, где

Решим уравнение (7) по плану.

1) Найдем корни .

Следовательно, и есть частные решения (7) при .

2) В области, где , разделим переменные:

; ;

(8)

Найдем; Поэтому из (8) получим, , где .

, где .

Выразим отсюда :

где . (9)

Заметим, что если положить , то получим , что есть частное решение, полученное в пункте 1).

Заметим также, что частное решение не входит в семейство (9) ни при каком , то есть это особое решение.

Ответ: при - общее решение, - особое решение.

Пример 2. Решить уравнение с дифференциалами:

. (10)

Здесь есть дифференциал неизвестной функции .

Разделив уравнение (10) на , получим дифференциальное уравнение

которое можно разрешить относительно и дальше решать по плану. Однако можно этого не делать, поскольку в (10) переменные можно "разделить" сразу:

Интегрируя получим: , где

Это и есть общий интеграл уравнения (10), который задает семейство концентрических окружностей радиуса с центром в точке (0,0).

Замечание. Другие, рассмотренные ниже, типы дифференциальных уравнений с помощью подходящих подстановок сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Определение. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

. (1)