2014-02-18
2125
А) Белый шум.
стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности называется белым шумом.
(6.34)
Термин «белый шум» образно подчёркивает аналогию с «белым» (естественным) светом, у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных составляющих приблизительно одинакова.
По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума:
равна нулю всюду кроме точки 
. Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика.
Белый шум является дельта-коррелированным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени – как бы мал ни был интервал 
, сигнал за это время может измениться на любую наперёд заданную величину.
Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс в природе, безусловно, не существует. Однако это не мешает приближённо заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума.
Б) Случайный синхронный телеграфный сигнал
Найдём функцию корреляции и спектральную плотность мощности телеграфного сигнала. Под случайным синхронным телеграфным сигналом понимается центрированный случайный процесс, принимающий с равной вероятностью значения +1 и -1, причём смена значения может происходить только в моменты времени, разделённые промежутком 
(тактовым интервалом). Значения на разных тактовых интервалах независимы. Пример реализации такого процесса приведен на рисунке:
Границы тактовых интервалов у разных реализаций не совпадают, так что любой момент времени на интервале от 0 до Т может с равной вероятностью оказаться моментом начала такта. Для определения функции корреляции рассмотрим два сечения в моменты 
и 
, обозначим -через и найдём математическое ожидание произведения 
. Если >, то эти сечения принадлежат разным тактовым интервалам, и произведение может с равной вероятностью принимать значения +1 и -1, так что его математическое ожидание равно нулю. Если же <, то возможны два случая: случай А, когда они принадлежат одному интервалу и следовательно, =1, и случай Б, когда они принадлежат разным интервалам и может с равной вероятностью равняться +1 и -1. Поэтому при <математическое ожидание равно вероятности P(A) того, что оба сечения оказались в одном интервале. Отсюда видно что случай А имеет место, если первое из двух сечений отстоит от начала тактового интервала не более чем на 
, а вероятность этого равна 
. Таким образом:
Так как 
зависит только от разности -=, а 
, то процесс стационарный.
График функции корреляции
Спектральную плотность мощности синхронного сигнала можно определить по формуле
Откуда:
(6.35)
График спектральной плотности:
В) Гауссово (нормальное) распределение.
В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности.
(6.36)
содержащая два числовых параметра m и 
. График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке x=m. При уменьшении график всё более локализуется в окрестности точки x=m.
Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии: 
; 
. Функция распределения гауссовой случайной величины
Замена переменной 
даёт:
(6.37)
Здесь Ф интеграл вероятностей
График функции F(x) имеет вид монотонной кривой, изменяющейся от 0 до 1.
