Теорема Пуассона

Рассмотрим последовательность серий испытаний Бернулли

B ₁₁; B ₂₁, B ₂₂; …; B_{n 1}, B_{n 2}, …, B_nn.

Предположим, что р_п - вероятность успеха в n -й серии, и р_п ® 0 при n ®¥. Введем l _п = п р_п.

Теорема (Пуассона). Пусть имеется последовательность серий испытаний Бернулли с вероятностью успеха р_п в п-й серии. Тогда при n ®¥ справедливо

Раньше теорему Пуассона называли «законом малых чисел».

Доказательство. По формуле Бернулли

Итак, при определенных условиях биномиальное распределение сближается с распределением Пуассона.

Замечание. Если пр_п ® l при п® ¥ (или l _п ®l), тогда

Пример 1. Среди семян пшеницы 0,1% сорняков. Посеяли 1000 семян. Найдем вероятность того, что среди 1000 семян не менее трех сорняков. Найдем вероятность дополнения к событию A = { не менее трех сорняков }. Здесь n = 1000, р = 0,001, np = 1, m_n — число успехов.

и

Р (A) =1-0,92 =0,08.