Математическое ожидание случайной величины. Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин

Определение 1. Математическим ожиданием случайной величины x называется следующее число

Математическое ожидание называют еще средним значением величины и обозначают также через М x. Заметим, что величину a _k = Е x^k, k > 0 называют начальным моментом (или просто моментом) порядка k случайной величины x. Для функции j (x) от случайной величины x (см. 2.3) математическое ожидание определяется так:

Для случайных величин, являющихся функциями f (x ₁, x ₂, …, x_n) от случайных величин x ₁, x ₂,..., x_n математическое ожидание определяется так:

Рассмотрим свойства математического ожидания.

1. Если x постоянная величина, т.е. x = С с вероятностью 1, то Е x = С. Действительно, если x = С вероятностью 1, то по определению математического ожидания получаем Е x = С × 1 = С.

2. E (Cx) = С × Е x.

Это и последующие свойства докажем для дискретного случая.

Если x дискретная случайная величина со значениями а_k и вероятностями p _k = Р (x = а_k), k = 1,2,..., то согласно пункту 2.3 Сx является дискретной случайной величиной со значениями Са_k и теми же вероятностями p_k, k = 1,2,... Тогда по определению математического ожидания получаем

и получаем требуемое.

4. Е (x + h) = E x + Е h.

Пусть случайные величины x и h имеют следующие таблицы распределения:

и

Тогда

поскольку (см. 2.4.2)

где

Как следствие получаем

5. Если x и h независимые случайные величины, тогда

Пусть x и h случайные величины, введенные в свойстве 4. Как показано в 2.4.3 для независимых случайных величин x и h выполняются равенства