2014-02-18
1486
В реальных условиях, кроме возвращающей силы в колебательной системе обязательно будет действовать и сила сопротивления. Будем считать, что скорости движения при колебаниях будут небольшими, тогда сила сопротивления прямо пропорциональна скорости:
, (13)
где r –коэффициент сопротивления. Учитывая только силу сопротивления (13) и силу упругости (1) согласно II закону Ньютона для уравнения движения получим:
, (14)
. (15)
Разделив правую и левую часть (15) на m и обозначив k/m = 
, а r/m = 2β, получим:
или 
. (16).
Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
к2 + 2b·к + w
= 0 имеет корни 
. (17)
Из (17) видно, что движение будет колебательным, только если b2 < w. При этом условии корни (17) будут комплексными числами и решением уравнения (16) будет периодическая функция. Представим корни (17) в виде:
, где 
.
Теперь решением уравнения (16) будет функция:
s= е-βt(С1cosωt + C2sinωt).
Заменяя С1 и С2 через другие постоянные А0 и φ0 такие, что С1 = А0cosφ0, а С2 = А0sinφ0 окончательно получим:
|
|
|
s = А0е−βtcos(ωt + φ○) (18).
Это уравнение свободных затухающих колебаний, график которых представлен на рис.5. Как видно амплитуда свободных затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону:
А = А0 е−βt, (19)
(рис.5, пунктирная линия). Круговая частота этого колебания w =
, а период Т = 2π /
. Как видно, ни частота, ни период затухающих колебаний не равны соответствующим параметрам собственных колебаний системы.
Для описания быстроты затухания колебаний используют три взаимосвязанные величины: коэффициент затухания – β, декремент затухания – δ и логарифмический декремент затухания – λ. Коэффициент затухания b = 
, [b] = 1/с. Декремент затухания –
(20)
и логарифмический декремент затухания
l = ℓ n d = ℓnеβТ = βТ. (21)
