Устойчивость. Корректность. Сходимость

Устойчивость. Чувствительность задачи к неустранимым погрешностям в исходных данных характеризуется устойчивостью. Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины x находится значение исходной величины y. Задача называется устойчивой по исходному параметру x, если решение y непрерывно от него зависит, т.е. малое приращение исходной величины приводит к малому приращению искомой величины . Другими словами, малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчетов.

Корректность. Задача называется корректно поставленной, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решений существует, единственно и устойчиво по исходным данным.

В настоящее время развиты методы решения некорректных задач. Это в основном так называемые методы регуляризации. Они основываются на замене исходной задачи корректно поставленной задачей, которая содержит некоторый параметр, при стремлении которого к нулю решение такой задачи переходит в решение исходной задачи.

Сходимость означает близость получаемого численного решения задачи к истинному решению задачи. Ограничимся лишь двумя понятиями сходимости.

Сходимость итерационного процесса. Итерационный процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи и нахождения искомого значения определяемого параметра строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого процесса – итераций – получаем последовательность значений y₀,y₁,…y_n,… Говорят, что эта последовательность сходится к точному значению , если при неограниченном возрастании числа итераций предел этой последовательности существует и равен a: .

Понятие сходимости используемое в методах дискретизации. Методы дискретизации заключаются в замене задачи с непрерывными параметрами на задачу, в которой значения функций вычисляются в фиксированных точках. Здесь под сходимостью метода понимается стремление значений решения дискретной модели задачи к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к нулю параметра дискретизации.

Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.