Системы функций, не являющихся чебышевскими

Пусть на [-1,1] задана система функций ;. Тогда, если в качестве узлов взять, например, точки ;; то получим ,.

Другой пример: ; ; ; ; .

Вообще из (3) видно, что если какая-либо из функций , k=0,…,n обращается на отрезке [a,b] в ноль более чем n раз, то система не является чебышевской. Действительно, если, например, для некоторого j и для k=0,…,n, то выбирая точки в качестве узлов интерполирования, получим, что j-ый столбец матрицы A содержит только нулевые элементы.

Отсюда можно доказать, что для того чтобы система , k=0,…,n была чебышевской на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы любой обобщенный интеграл по этой системе , у которого хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, имел на [a,b] не более n нулей.

Можно также доказать, что определитель A отличен 0 тогда, когда система базисных функций линейно независима на множестве узлов. Поэтому система функций называется чебышевской, если она независима на любом конечном множестве (n+1) точек на отрезке [a,b].

Напомним, что система функций , k=0,…,n называется линейно зависимой на некотором множестве точек , если существует набор коэффициентов , среди которых хотя бы один отличен от нуля, обращающих в тождественный нуль на множестве X линейную комбинацию функций , .