Элементы комбинаторики. Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности.

Вероятность есть число, характеризующее численную меру объективной возможности появления события в результате опыта.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу элементарных исходов опыта.

Вероятность события А обозначают Р(А).

P(A) = ,(1.1)

где m – число благоприятствующих событию А исходов,

n – общее число возможных исходов опыта.

Соотношение (1.1) является классической формулой расчета вероятности событий, которые могут возникать в результате эксперимента с исходами, подпадающими под определение случаев.

Вероятность принимает значения от 0 до 1.

0 < Р (A) < 1

Вероятность невозможного события равна 0: Р(Ø)= 0,

вероятность достоверного события равна 1: Р(U) = 1.

Задача 1. Определить вероятность появления герба при одном броске монеты.

Опыт: бросок монеты.

Случайное событие А – появление герба при одном бросании.

Элементарные события: ω₁ – выпадение герба (Г),

ω₂ – выпадение цифры (Ц).

Возможные исходы опыта несовместные, равновозможные и образуют полную группу событий. n=2

Число благоприятствующих исходов ω₁ (герб) равно 1. m=1.

P(A) – вероятность события А

P(A) ==.

Задача 2. Определить вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет не менее 5 очков.

Случайное событие А – выпадет не менее (³) 5 очков.

Элементарные события: ω_1,. ω_2, ω_3, ω_4, ω_5,, ω_6.

Исходы ω_1,. ω_2, ω_3, ω_4, ω_5,, ω_6.– несовместные, равновозможные, образуют полную группу. n=6.

Благоприятствующие исходы: ω_5,, ω_6. m=2.

P(A) ==.

Задача 3. В урне имеется a белых и b черных шаров. Из урны наугад извлекли шар. Найти вероятность извлечения белого (событие А) и черного (событие В) шаров.

Число исходов опыта равно (a + b)

P(A) =,

P(B) =.

Задача 4. Из урны, содержащей 3 белых и 3 черных шара, извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что они оба окажутся белыми.

1 2 3 4 5 6

Благоприятствующие Не благоприятствующие

исходы: исходы:

Число исходов n = 15 (несовместные, равновозможные и образуют полную группу)

Число благоприятствующих исходов m = 3

P(A) ==.

Задача 5. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово “КНИГА”. Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово “КНИГА”.

В этом примере общее количество случаев определяется числом возможных перестановок букв, из которых состоит слово “КНИГА”, число это довольно внушительное и процедура прямого перебора в этом случае мало эффективна.

Задачами на отыскание количества комбинаций элементов, занимается раздел математики, называемый комбинаторикой.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются количественные характеристики различных видов соединений элементов, независимо от природы самих элементов.

В основе комбинаторных методов лежат следующие два правила:

Правило сложения

Пусть k взаимоисключающих друг друга действия могут быть выполнены соответственно n _1, n ₂,..., n_k способами. Тогда какое-либо из действий можно выполнить n= n ₁ + n ₂ +... + n_k способами.

Правило умножения

Пусть нужно последовательно выполнить k действий. Если первое действие можно выполнить n ₁ способами, второе – n ₂способами,..., k -е – n_k способами, тогда все k действий можно выполнить n способами.:

В комбинаторике различают три вида различных соединений (комбинаций) элементов произвольного множества:

– перестановки;

– размещения;

– сочетания.

Перестановками из m элементов называются такие их соединения, которые отличаются друг от друга порядком следования элементов.

P_m = m! = 1 × 2 ×... × m.

(1.2)

Пример 7. Составить все возможные перестановки из трех элементов {a, b, c}.

abc bac cab acb bca cba

P₃ = 3!=1·2·3=6.

Размещениями из n элементов по m называют такие соединения m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним новым элементом или порядком их следования (mn).

(1.3)

Пример 8. Составить все возможные размещения из трех элементов {a, b, c} по 2 элемента.

ab ac bc

ba ca cb.

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним новым элементом, порядок следования элементов не учитывается (m n).