Определяющий контраст

Таблица 8.11

№ оп.	I матрица х₃=х₁х₂	№ оп.	II матрица х₃=-х₁х₂
	Х₁	Х₂	Х₃	Х₁Х₂Х₃	Х₁	Х₂	Х₃	Х₁Х₂Х₃
	+ - + -	+ - - +	+ + - -	+ + + +	+ - + -	+ - - +	- - + +	- - - -

Аналогично можно определить, что х₂=х₁х₃; х₃=х₁х₂. Полученные соотношения, показывающие, с каким из эффектов смешан данный эффект, называются генерирующими соотношениями. Для рассматриваемого случая они означают, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны о двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III(по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Такие планы принято обозначать .

При выборе полуреплики 2^4-1 возможно восемь решений:

1.х₄=х₁х₂; 2.х₄=-х₁х₂; 3.х₄=х₂х₃; 4.х₄=-х₂х₃; 5 х₄=х₁х₃; 6.х₄=-х₁х₃;

7.х₄=х₁х₂х₃; 8.х₄=-х₁х₂х₃.

Разрешающая способность этих полуреллик различна. Так, peплики 1- 6 имеют по три фактора с определяющем контрасте, а 7- 8 по четыре. Реплики 7 – 8 имеют максимальную разрешающую способность и называются главными. Разрешающая способность задается системой смешивания данной реплики. Она будет максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка. При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия экспериментатор стремится выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, так как тройные взаимодействия обычно менее важны, чем парные.

Реплики, в которых нет ни одного главного эффекта, смешанного с другим главным эффектом или парным взаимодействием, а все парные взаимодействия смешаны друг с другом, называются планами с разрешающей способностью IV (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте) и имеют обозначения .

Пусть выбраны полуреплики, заданные определяющими контрастами I=х₁х₂х₃х₄и I=-х₁х₂х₃х₄.Совместные оценки определяются следующими соотношениями:

х₁=х₂х₃х₄; х₁х₃=х₂х₄; х₃=-х₁х₂х₃;

х₂=х₁х₃х₄; х₁х₄=х₂х₃; х₄=-х₁х₂х₃;

х₃=х₁х₃х₄; х₁х₂=-х₃х₄;

х₄=х₁х₂х₃; х₁=-х₂х₃х₄; х₁х₃=-х₂х₄;

х₁х₂=х₃х₄; х₂=-х₁х₃х₄; х₁х₄=-х₂х₃.

Такой тип смешивания дает возможность оценивать линейные аффекты совместно с эффектами взаимодействий второго порядка а взаимодействия первого порядка - совместно друг с другом. Если выбраны полуреплики с определяющими контрастами I = х₁х₂х₄ и I =- х₁х₂х₄, то можно получить планы с разрешающей способностью III. Некоторые основные эффекты смешиваются с парными взаимодействиями:

х₁=х₂х₄, х₂=х₁х_4.

Разрешающая способность этих полуреплик ниже, чем у планов c разрешающей способностью 1У.

При выборе полуреплики 2^5-1 в распоряжении экспериментатора имеется 22 варианта. Так, х₅ можно приравнять к одному из шести парных взаимодействий, например х₅=х₁х₂ или х₅=х₃х₄ и т.д. В этом случае получается полуреплика с разрешающей способностью III. Очевидно, это не лучший выбор полуреплики. Затем х₅ можно приравнять к одному из четырех тройных взаимодействий (х₅=х₁х₃х_4,х₅=х₁х₂х_4,х₅=х₂х₃х_4,х₅=х₁х₂х₃). Тогда получим план с разрешающей способностью IV и все линейные эффекты будут смешаны с тройными взаимодействиями. И, наконец, полуреплика может быть задана генерирующими соотношениями х₅=х₁х₂х₃х₄ или х₅=-х₁х₂х₃х₄ _. Определяющими контрастами в этом случае будут I=х₁х₂х₃х₄х₅ и I=-х₁х₂х₃х₄х₅. Такие реплики называются планами с разрешающей способностью V и обозначаются .

Пусть, например, выбрана полуреплика, заданная генерирующим соотношением х₅=х₁х₂х₃х₄. Коэффициенты регрессии будут оценками следующих эффектов:

где линейные эффекты смешаны с взаимодействиями третьего порядка, а взаимодействия первого порядка - с взаимодействиями второго порядка.

Предположив незначимость тройных и четверных взаимодействий, можно сказать, что основные и парные эффекты выделены в «чистом» виде.

8.4.4.Выбор 1/4-реплик. Обобщающий

При исследовании влияния пяти факторов можно поставить не 16 опытов, а только 8, т.е. воспользоваться репликой 2^5-2. Возможны 12 решений, если х₄ приравнять к парному взаимодействию, а х₅-к тройному:

1. х₄=х₁х₂, х₅=х₁х₂х₃;

2. х₄=х₁х₂, х₅=-х₁х₂х₃;

3. х₄=-х₁х₂, х₅=х₁х₂х₃;

4. х₄=-х₁х₂, х₅=-х₁х₂х₃;

5. х₄=х₁х₃, х₅=х₁х₂х₃;

6. х₄=х₁х₃, х₅=-х₁х₂х₃;

7. х₄=-х₁х₃, х₅=х₁х₂х₃;

8. х₄=-х₁х₃, х₅=-х₁х₂х₃;

9. х₄=х₂х₃, х₅=х₁х₂х₃;

10. х₄=х₂х₃, х₅=-х₁х₂х₃;

11. х₄=-х₂х₃, х₅=х₁х₂х₃;

12. х₄=-х₂х₃, х₅=-х₁х₂х₃.

Допустим, что выбран пятый вариант; х₄=х₁х₃, х₅=х₁х₂х₃х₄. Тогда определяющими контрастами являются 1= х₁х₃х₄ и 1= х₁х₂х₃х₅. Если перемножить эти определяющие контрасты,то получится третье соотношение задающее элементы столбца 1= х₂х₄х₅. Чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплики, необходимо записать обобщающий определяющий контраст:

1 =х₁х₃х₄=х₂х₄х₅=х₂х₁х₃х₅

Система смешивания определяется умножением обобщающего определяющего контраста последовательно на х₁,х₂,х₃ и т.д., например,

x₁ = x₃x₄ = x₁ x₂ x₄ x₅ = x₁ x₂ x₄ x₅

x₁ x₂ = x₂ x₃ x₄ =x₁ x₄ x₅ = x₃ x₅

Получается довольно сложная система смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия первого, второго, третьего и четвертого порядков. Так, коэффициент регрессии b₁ будет оценкой следующих эффектов:

b₁ β₁+β₃₄+β₂₃₅+

Если возникает необходимость получения основных эффектов свободных от парных эффектов взаимодействия, то к выбранной реплике следует добавить еще одну реплику с обобщающим определяющим контрастом:

1= -х₁х₃х₄=-х₂х₄х₅=х₁х₂х₃х₅.

В добавленной реплике коэффициент b₁ будет оценкой следующих эффектов: b₁ β₁-β₃₄ - β₁₂₄₅+ β₂₃₅

При сложении двух ¼-реплик b₁ β₁+β₂₃₅, т.е. освобождаемся от парного эффекта взаимодействия.

Таким образом, если есть предположение, что эффекты взаимодействия первого порядка отличаются от нуля, нужно смешать две четверть-реплики, отличающиеся друг от друга знаками тройных произведений обобщающих контрастов.

Пример 8.5 Исследуем влияние различных факторов на разностенность изделия при вытяжке с утонением в среднем сечении. В качестве независимых переменных выбраны следующие факторы:

Х₁- угол вытяжной матрицы, Х₂- угол между осью пуансона и направлением хода ползуна, Х₃ - обжатие, Х₄ - разностенность заготовки в среднем сечении, Х₅ - предел текучести (табл.8.12).

Таблица 8.12

Обознач.факто-ров	Размер- ность	Область эксперимента
Нижний уровень “-“	Основной уровень “0”	Верхний уровень “+” Ень	Интервал варьирования.
Х₁ Х₂ Х₃ Х₄ Х₅	Град Рад. % мкм Па	-5 .0,00156 8.09.810	11,5 0,00233 32,5 12,0	0,00310 16,0	6,5 0,00078 17,5 19,5 4,0

Постулируется линейная модель y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₄x₄+b₅x₅..

При планировании эксперимента используем ¼-реплику от полного факторного эксперимента 2, что позволяет ограничиться восемью опытами при проведении эксперимента вместе32. Приравняем х₄ к тройному взаимодействию х₁х₂х₃, а х₅ к х₁х₂. Обобщающий определяющий контраст запишется так: