Пусть заданы ГУ I рода, т. е. и = const, требуется найти t(r) и q, (рис.1.9).
Положим , , , .
Рис.1.9. Теплопроводность цилиндрической стенки
Здесь нужно брать дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат (см. уравнение (1.10) при факторе геометрической формы k=2 для цилиндра).
Математическая постановка задачи имеет вид
Дифференциальное уравнение
Граничные условия:
Уравнение теплопроводности решаем путем введения подстановки: u=dt/dr.
. Разделяем переменные и интегрируем . После потенцирования получим .
Вспоминаем, что u=dt/dr, разделяем переменные .
Интегрируем и получаем общее решение . (1.31)
После определения С1 и С2 с помощью граничных условий, получим
и
Окончательно . (1.26)
Здесь температура вдоль стенки изменяется по логарифмическому закону.
Удельный тепловой поток найдем с помощью закона Фурье:
, где , (1.28)
Здесь, в отличие от плоской стенки, тепловой поток зависит от радиуса ,
, где боковая поверхность цилиндра .
Тогда , где и .
Опять неудобно, нужно сделать чтобы было. Введем понятие линейной плотности теплового потока
|
|
, Вт/м. (1.27)
В знаменателе стоит термическое сопротивление цилиндрической стенки, мК/Вт.
Термические напряжения в цилиндрической стенке определяются по уравнениям (1.11) и (1.12) в которых использование формулы (1.13) для нахождения средней температуры может привести к значительным погрешностям. Более точно среднемассовая температура полого цилиндра внутренним радиусом и наружным может быть найдена по следующей формуле:
, (1.28)
где - объем цилиндра радиусом r и высотой H; ;
- плотность материала стенки, ; произведение - масса, кг.
Подставляя в уравнение (1.28) решение (1.31) для поля температур в виде и производя интегрирование, получим для средней по массе температуре цилиндрической стенки
. (1.29)
При малых перепадах температур для приближенных расчетов при определении можно использовать уравнение (1.13).