2014-02-24
444
Т°. Если существуют и конечны пределы стоящие справа в следующих равенствах, то также существуют и конечны пределы, стоящие слева и равенства выполняются:
10.
,
20.
,
30.
если 
.
∆ 10. Пусть 
, 
.
Тогда 
и 
, где 
.
Следовательно: 
и j(x) бесконечно мала.
Значит 
.
20,30 доказываются аналогично. ▲
Т°. (о пределе сложной функции).
Пусть 
; 
. Тогда 
.
∆ По условию теоремы: Û 
" U c 
,
Û 
" Ub 
.
Получаем:
" U c 
что и т. д.▲
Def. Действия с несобственными элементами:
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
(если 
) * 
*
е. 
, 
е. 
* 
* 
е. * 
е., 
е. .
∆. Докажем например что 
Пусть 
и 
Тогда 
,
и 
.
Теперь возьмём 
.
Получим:
что и т. д.
аналогично доказываются остальные соотношения.▲
Введя операции над несобственными элементами, обратим внимание на то, что не всяким действиям с несобственными элементами даны определения. В таких случаях говорят, что мы имеем дело с неопределенностями. Неопределенностями они называются потому, что результат этих действий может быть различным в зависимости от величин учавствующих в операции.
Рассматривается (пока) четыре типа неопределённостей:
¥-¥, 0×¥, 
, 
.
Первые две неопределённости сводятся, путем арифметических преобразований, к последним двум, а для раскрытия последних двух предназначено правило Лопиталя:
Правило: Если функции и обе стремятся к нулю или бесконечности, то предел отношения функций равен пределу отношения производных этих функций, если предел стоящий справа существует и конечен. 
Ü| 
. ∆ ▲
Конечно, такая формулировка правила Лопиталя, мягко говоря, оставляет желать лучшего. Аккуратная формулировка и доказательство этого, очень важного и удобного в применении правила будет приведено несколько позже, по мере нашей готовности к этому. Формулировка же приводится для того, чтобы позволить применять это правило, пусть и в весьма приблизительном виде, для вычисления пределов.
