Частичные пределы

РАЗДЕЛ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

§ Арифметические действия над непрерывными функциями. суперпозиция непрерывных функций

T⁰. Сумма, произведение и частное непрерывных функций непрерывны (частное при условии, что знаменатель отличен от нуля).

∆ .

(для произведения и частного аналогично).▲

Следствия:

1⁰.Любая натуральная степень непрерывна: непрерывна . непрерывна.

2⁰.Любой многочлен непрерывен.

3⁰.Любая рациональная функция непрерывна в своей области определения.

T⁰.Суперпозиция непрерывных функций непрерывна.

∆ Справедливость следует из теоремы о пределе сложной функции▲

Def. Сужением функции на множество или ограничением функции на множество называется:

.

Def. Частичным пределом функции по множеству называется предел ограничения этой функции на множество .

.

T⁰. Если в точке существует предел функции, то в этой точке существует и равен ему всякий частичный предел, о котором имеет смысл говорить.

∆ ,

а это значит, что: ▲

Примечание: Из существования частичного предела и, даже, бесконечного числа равных частичных пределов не следует существование предела функции.

Пример: , , но .

Т° (об односторонних пределах). Если существуют и равны между собой оба односторонних предела, то существует и равен их общему значению предел функции в данной точке.

∆ ,

.

Возьмём и получим ▲