Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций

Рассмотрим систему функций . Если взять эту систему функций в качестве шкалы асимптотического сравнения при , то справедливы следующие асимптотические разложения:

1˚. ≃

≃

2˚. ≃

≃

3˚. ≃

≃

4˚. ≃

≃

5˚. ≃

≃

§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)

Т˚. Во всякой последовательности вложенных друг в друга замкнутых промежутков, длины которых стремятся к нулю, содержится единственная точка, принадлежащая всем промежуткам одновременно:

.

Δ Последовательность: - возрастающая и ограниченная сверху (любым ), следовательно по теореме Вейерштрасса имеет предел: .

Последовательность - убывающая и ограниченная снизу (например, одним из ), т.е. .

Тогда: , т.е. ▲