Рисунок 2.1 - К постановке задачи теплопроводности в пластине
Математическая постановка задачи
Поместим начало координат на оси симметрии пластины. Вследствие
симметрии процесса нагрева будем искать температурное поле для правой половины пластины толщиной .
Если пластина нагревается с одной стороны, а другая сторона изолирована, например, при нагреве заготовок, лежащих на подине печи, то ее можно рассматривать, как половину пластины; при этом изолированная сторона будет соответствовать середине пластины. Следовательно, за расчетную толщину пластины следует в этом случае принимать ее полную толщину.
При рассмотрении процессов теплопроводности необходимо использовать дифференциальное уравнение переноса тепла. Так как тело плоское, используем дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовой системе координат
,
где - время процесса, с;
- искомая температура, ;
- массовая теплоёмкость, Дж/кг×К;
- плотность, кг/м3;
- коэффициент теплопроводности, Вт/м×К.
|
|
Для простоты задачу будем решать в линейной постановке, т. е. при постоянных, независящих от температуры теплофизических свойствах. Ввиду малости толщины пластины по сравнению с её высотой и шириной можно пренебречь осевыми и продольными растечками тепла.
С учётом сказанного дифференциальное уравнение теплопроводности для данной задачи примет вид:
, , (2.1)
где - коэффициент температуропроводности, м2/с.
К уравнению (2.1) следует добавить краевые условия или условия однозначности:
— начальное условие
(2.2)
— и граничные условия на:
• левой (2.3)
• правой границе , (2.4)
где - температура на поверхности пластины, .
Уравнение (2.3) вытекает из условия симметрии или адиабатности на оси (см. рис. 2.1).
Система дифференциальных уравнений (2.1)…(2.4) представляет собой математическую постановку рассматриваемой задачи.
Уравнение (2.1) является параболическим уравнением математической физики в частных производных, второго порядка. Решить его можно любым из рассмотренных во введении методом. Поскольку дифференциальные уравнения (2.1)…(2.4), которые описывают процесс теплопроводности в теле простой формы линейные, можно получить точное аналитическое решение, применяя классический метод Фурье, т.е. метод разделения переменных [2,3].
Представим, что температура определяется произведением двух функций, одна из которых зависит только от пространственной координаты, а вторая - только от времени. Это эквивалентно введению следующей замены переменных:
. (3.1)
Дифференцируя (3.1) по времени и дважды по координате, а затем подставляя в уравнение (2.1), получим
|
|
. (3.2)
Известно, что две функции от двух разных и независящих друг от друга аргументов могут быть равны при любых значениях последних только в том случае, если они равны одной и той же постоянной величине, равной, например – k2. Тогда из выражения (3.2) вытекает два уравнения
Решением последних будет
,
.
Подставляя U и V в уравнение (3.1), получим:
(3.3)
Постоянные интегрирования С, D и k находим из начального (2.2) и граничных условий (2.3) и (2.4). Подробный вывод приведён в [3,4,7].
Окончательно решение уравнения (3.3) в безразмерной форме, согласно [5], имеет вид:
, (3.4)
где - безразмерная, относительная температура, 0≤θ≤1;
— первоначальная, максимально возможная разность температур, 0С;
- безразмерная координата, ;
- безразмерное время, число Фурье;
- тепловая амплитуда;
- число Био;
- характеристические числа, которые находятся из следующего трансцендентного уравнения:
. (3.5)
Из анализа уравнения (3.5) видно, что имеет бесчисленное множество значений. Наиболее просто можно определить корни уравнения (3.5) графическим путем. Если левую часть уравнения обозначить через , а правую часть — через , то пересечения котангенсоиды с прямой (рис. 3.1) дают нам значения корней характеристического уравнения. Из рис. 3.1 видно, что имеется бесчисленное множество корней , причем каждое последующее решение больше предыдущего:
Чем больше n, тем ближе к числу .
Рисунок 3.1- Графический способ определения корней характеристического уравнения