Тема: Векторная оптимизация

Отчет по пределам


	Целевое
Ячейка	Имя	Значение
$D$12	максимальная прибыль


	Изменяемое		Нижний	Целевой	Верхний	Целевой
Ячейка	Имя	Значение	предел	результат	предел	результат
$B$3	значение продукт 1	397,5			397,5
$C$3	значение продукт2
$D$3	значение продукт3	191,25			191,25

В отчете по пределам показаны нижние и верхние границы изменения неизвестных и значения целевой функции при этих изменениях. Так, если х₁=0, х2 и х3 оставить без изменений, то F=240*397.5 = 95 400, а при х2=0 и неизменных х1 и х3 f=129 825, т.е. максимальному значению.

Дадим математическую формулировку задачи векторной оптимизации.

Пусть Х={x₁, x₂,..., x_N) (j=1…N) – вектор переменных. Обычно предполагается неотрицательность вектора переменных Х>=0. Функциональная взаимосвязь переменных устанавливается определенными отношениями, на которые накладываются ограничения:

g_i(X)<=b_i (i=1…M).

Функционирование системы оценивается определенными критериями, записываемыми в виде целевых функций fk(X) (k=1…K). Множество критериев можно представить в виде векторной целевой функции

F(X) = {f₁(X), …, f_k(X)}.

Задача многоцелевой оптимизации записывается как векторная задача математического программирования:

F(X) = {f₁(X), …, f_k(X)}.

g_i(X)<=b_i (i=1…M). (1)

Х>=0.

Будем рассматривать случай, когда точки оптимума X_k^* (k=1…K), полученные при решении задачи по каждому критерию f_k (k=1…K) не совпадают. Поэтому с математической точки зрения задача (1) является некорректной, так как если один из критериев достигает своего оптимума, то улучшение по другим компонентам векторного критерия невозможно. Отсюда вытекает вывод, что решением векторной задачи может быть только некоторое компромиссное решение.

Особенностью задач векторной оптимизации является наличие в области допустимых значений области компромиссов, в которой невозможно одновременное улучшение всех критериев. Принадлежащие области компромиссов планы называются эффективными или оптимальными по Парето.

Введем понятие предпочтительного плана. План Х0 не хуже плана Х’, если f_k(X₀)>=f_k(X’) (k=1…K). Если среди этих неравенств хотя бы одно строгое, то план Х₀ предпочтительнее (лучше) X’, т. е. при переходе от Х0 к Х’ значение ни одного критерия не ухудшилось и хотя бы одного критерия улучшилось. План Х₀ оптимален по Парето (эффективен), если он допустим и не существует другого плана Х’, для которого f_k(X₀)>=f_k(X’) (k=1…K), и хотя бы для одного критерия выполняется строгое равенство.

При разработке методов решения векторных задач приходится решать ряд специфических проблем.

Проблема нормализации возникает в связи с тем, что локальные критерии имеют, как правило, различные единицы и масштабы измерения, и это делает невозможным их непосредственное сравнение. Операция приведения критериев к единому масштабу и безразмерному виду носит название нормализации. Наиболее распространенным способом нормирования является замена абсолютных значений критериев их безразмерными относительными величинами