Дисперсия

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.

Рассмотрим, например, две дискретные случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:

X	-0,01	0,01		Y	-100
p	0,5	0,5		p	0,5	0,5

Нетрудно видеть, что M (X)= M (Y)=0. Здесь математические ожидания обеих случайных величин одинаковы, а возможные значения различны, причём Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далёкие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, ещё нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине, наряду с математическим ожиданием, вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того, чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения данной случайной величины от её математического ожидания, т.е.

.

1). Для дискретной случайной величины:

(или для случайной величины, имеющей конечное число значений);

2). Для непрерывной случайной величины:

(или , если значения случайной величины принадлежат промежутку ).

Свойства дисперсии .

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Доказательства, приведённых выше свойств, вполне очевидны и проводятся по определению. Давайте докажем, например, третье свойство:

ПРИМЕР. Найти дисперсию случайной величины , имеющей следующее распределение

	0,3	0,5	0,2

РЕШЕНИЕ. Вычислим, прежде всего, математическое ожидание данной случайной величины:

.

Тогда, согласно определению дисперсии, получим:

.

Удобнее было бы воспользоваться третьим свойством дисперсии. Действительно:

.